Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Nombres rationnels · Leçon 2

Multiplication et division des nombres rationnels

Produit des numérateurs, produit des dénominateurs, et l’inverse pour diviser.

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Cours de Mathématiques : « Multiplication et division des nombres rationnels », proposé par ndolomathndolomath

Multiplier et diviser

💡 Idée principale : Pour multiplier deux rationnels, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Diviser par un rationnel non nul revient à multiplier par son inverse.

Ce que tu vas apprendre

Multiplier deux nombres rationnels en simplifiant avant de calculer.
Déterminer l’inverse d’un rationnel non nul.
Diviser deux nombres rationnels.
Calculer une fraction d’une quantité.

Pourquoi cette leçon ?

Prendre « les deux tiers de la moitié » d’une récolte, savoir combien de bouteilles de

\frac{3}{4}

de litre on remplit avec 12 litres : ces calculs sont des produits et des quotients de rationnels.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule :

(- 3) \times 5

;

(- 4) \times (- 6)

;

- 24 \div 8

Décompose 36 et 84 en produits de facteurs premiers.

Calcule

\frac{2}{3}

de 45 F.

Situation problème : La récolte d’arachides

M. Bello a récolté 360 kg d’arachides à Ngaoundéré. Il vend les $\frac{2}{3}$ de sa récolte, puis donne $\frac{1}{4}$ de ce qui reste à sa famille. Il met le reste dans des sacs de $\frac{5}{2}$ kg.
Quelle fraction de la récolte donne-t-il à sa famille ? Combien de sacs remplit-il ?

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Activité d’apprentissage

On travaille sur la récolte de M. Bello.

Quelle fraction de la récolte reste-t-il après la vente ?
Calcule $\frac{1}{4}$ de cette fraction. Comment as-tu obtenu le résultat ?
Quelle masse d’arachides reste-t-il pour les sacs ?
Combien de fois $\frac{5}{2}$ est-il contenu dans cette masse ? Écris ce calcul comme une division, puis comme une multiplication.

Produit de rationnels

Pour tous rationnels

\frac{a}{b}

\frac{c}{d}

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

Le signe du produit suit la règle des signes. On simplifie avant de multiplier.

Exemple à traiter : Calcule et simplifie :

\frac{- 6}{35} \times \frac{14}{9}

;

\frac{12}{25} \times (- \frac{15}{8})

;

- 4 \times \frac{7}{10}

R2 · Inverse d’un rationnel

Deux nombres sont inverses l’un de l’autre lorsque leur produit est égal à 1.
L’inverse de

\frac{a}{b}

(avec

a \neq 0

) est

\frac{b}{a}

. Le nombre 0 n’a pas d’inverse. Un nombre et son inverse ont le même signe.

Exemple à traiter : Donne l’inverse de :

\frac{3}{8}

;

- \frac{5}{2}

;

7

;

- 0, 25

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Quotient de rationnels

Diviser par un rationnel non nul, c’est multiplier par son inverse :

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} et \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

Exemple à traiter : Calcule :

\frac{4}{9} \div \frac{8}{15}

;

\frac{- 7}{6} \div 14

;

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{- 9}{10}}

Erreurs fréquentes

⚠ Diviser sans inverser

Pour diviser par

\frac{c}{d}

, on multiplie par

\frac{d}{c}

: on inverse le diviseur, pas le premier nombre.

⚠ Réduire au même dénominateur

Pour un produit, inutile de réduire au même dénominateur : on multiplie directement.

Exercice d’application

Calcule et donne le résultat irréductible : $A = \frac{- 15}{28} \times \frac{21}{- 10}$ ; $B = \frac{9}{16} \div (- \frac{27}{8})$ .
Calcule $C = (\frac{2}{3} - \frac{3}{4}) \div (\frac{1}{2} + \frac{1}{3})$ .
Un ruban de $\frac{15}{2}$ m est coupé en morceaux de $\frac{3}{4}$ m. Combien de morceaux obtient-on ?

À retenir

Produit : numérateurs ensemble, dénominateurs ensemble, en simplifiant d’abord. Quotient : on multiplie par l’inverse du diviseur. Zéro n’a pas d’inverse.