Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Nombres rationnels · Leçon 1

Addition et soustraction des nombres rationnels

Réduire au même dénominateur pour additionner et soustraire.

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Cours de Mathématiques : « Addition et soustraction des nombres rationnels », proposé par ndolomathndolomath

Addition de rationnels

💡 Idée principale : Un nombre rationnel s’écrit

\frac{a}{b}

avec

a

entier relatif et

b

entier non nul. Pour additionner ou soustraire deux rationnels, on les écrit avec le même dénominateur, puis on additionne ou on soustrait les numérateurs.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître un nombre rationnel et ses différentes écritures.
Réduire deux fractions au même dénominateur (avec le PPCM).
Additionner et soustraire des nombres rationnels.
Utiliser l’opposé d’un rationnel et les règles de signes.

Pourquoi cette leçon ?

Partager un héritage, mélanger des ingrédients ou comparer des parts de marché demande souvent d’additionner des fractions de dénominateurs différents. Savoir le faire vite et sans erreur évite bien des disputes au moment du partage.

Prérequis : vérifie tes bases

Simplifie

\frac{18}{24}

\frac{- 35}{49}

Calcule

PPCM (6; 8)

PPCM (12; 18)

Calcule :

- 7 + 4

;

- 3 - 5

;

6 - (- 2)

Situation problème : L’héritage de Mama Ngo

Mama Ngo partage son champ entre ses enfants. L’aînée reçoit $\frac{1}{3}$ du champ, le second $\frac{1}{4}$ et le troisième $\frac{1}{6}$ . Le reste est donné à l’église du village.
Quelle fraction du champ les enfants reçoivent-ils ensemble ? Quelle part revient à l’église ?

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Activité d’apprentissage

On veut calculer $A = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$ .

Écris chaque fraction avec le dénominateur 12. Pourquoi choisir 12 ?
Additionne les numérateurs et donne $A$ sous forme irréductible.
Calcule $1 - A$ . Que représente ce nombre dans la situation ?
Calcule de même $B = \frac{5}{6} - \frac{7}{8}$ . Le résultat est-il positif ou négatif ?

Nombre rationnel

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire

\frac{a}{b}

, où

a \in Z

b \in Z^{*}

. L’ensemble des rationnels se note

Q

.
•

\frac{- a}{b} = \frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

.
•

N \subset Z \subset D \subset Q

Exemple à traiter : Écris avec un dénominateur positif :

\frac{3}{- 7}

;

\frac{- 5}{- 9}

. Parmi

- 4

;

0, 25

;

\frac{2}{3}

;

π

, lesquels sont rationnels ?

R2 · Même dénominateur

Pour additionner ou soustraire deux rationnels de même dénominateur, on garde le dénominateur et on additionne ou soustrait les numérateurs :

\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b} \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a - c}{b}

Exemple à traiter : Calcule et simplifie :

\frac{7}{12} + \frac{- 11}{12}

;

\frac{4}{15} - \frac{- 6}{15}

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Dénominateurs différents

On réduit d’abord les fractions au même dénominateur, de préférence le PPCM des dénominateurs, puis on applique la règle précédente :

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + c b}{b d}

On simplifie toujours le résultat.

Exemple à traiter : Calcule :

\frac{5}{6} + \frac{3}{8}

;

\frac{- 7}{12} - \frac{5}{18}

;

2 - \frac{9}{4}

Sommes de plusieurs termes

Soustraire un rationnel, c’est ajouter son opposé :

\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a}{b} + (- \frac{c}{d})

.
On peut regrouper les termes de même dénominateur pour simplifier les calculs.

Exemple à traiter : Calcule

C = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{5}{6}

Erreurs fréquentes

⚠ Additionner les dénominateurs

\frac{1}{3} + \frac{1}{4}

n’est pas

\frac{2}{7}

: on réduit d’abord au même dénominateur.

⚠ Oublier le signe −

Dans

\frac{a}{b} - \frac{c - d}{b}

, le signe − porte sur tout le numérateur

c - d

Exercice d’application

Calcule et donne le résultat sous forme irréductible : $A = \frac{3}{10} + \frac{7}{15}$ ; $B = \frac{- 5}{14} - \frac{3}{21}$ .
Calcule $C = 3 - \frac{5}{4} + \frac{- 7}{6}$ .
Un réservoir est rempli aux $\frac{3}{5}$ . On utilise $\frac{1}{4}$ du réservoir le matin et $\frac{1}{6}$ le soir. Quelle fraction du réservoir reste-t-il ?

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À retenir

Même dénominateur : on additionne les numérateurs. Sinon, on réduit au même dénominateur (le PPCM) avant de calculer, puis on simplifie.