Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Multiplication d’un vecteur par un nombre réel · Leçon 2

Vecteurs colinéaires et vecteur directeur d’une droite

Des vecteurs proportionnels pour prouver un alignement ou un parallélisme.

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Cours de Mathématiques : « Vecteurs colinéaires et vecteur directeur d’une droite », proposé par ndolomathndolomath

Vecteurs colinéaires

💡 Idée principale : Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l’un est un multiple de l’autre. La colinéarité permet de démontrer que trois points sont alignés ou que deux droites sont parallèles.

Ce que tu vas apprendre

Définir deux vecteurs colinéaires.
Définir un vecteur directeur d’une droite.
Démontrer un alignement de points avec des vecteurs.
Démontrer le parallélisme de deux droites avec des vecteurs.

Pourquoi cette leçon ?

Un géomètre veut vérifier que trois bornes sont bien alignées, un menuisier que deux planches sont parallèles. Avec les vecteurs, on remplace la vérification à l’œil par une preuve.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis

3 \vec{u}

- 2 \vec{u}

pour un vecteur

\vec{u}

donné.

Applique la relation de Chasles :

\vec{A B} + \vec{B C} = \dots

Rappelle la propriété des droites parallèles à une même troisième.

Situation problème : Les bornes du champ

Un géomètre place quatre bornes $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sur le terrain d’une coopérative à Foumban. Il note que $\vec{A C} = 3 \vec{A B}$ et que $\vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B C} - 2 \vec{A B}$ .
Les bornes $A$ , $B$ , $C$ sont-elles alignées ? Les droites $(A D)$ et $(B C)$ sont-elles parallèles ?

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Activité d’apprentissage

On reprend les informations du géomètre.

Que peux-tu dire de la direction des vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ ? Les points $A$ , $B$ , $C$ sont-ils alignés ?
Exprime $\vec{B C}$ en fonction de $\vec{A B}$ .
Simplifie l’expression de $\vec{A D}$ et exprime-la en fonction de $\vec{A B}$ .
Conclus pour les droites $(A D)$ et $(B C)$ .

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs

\vec{u}

\vec{v}

sont colinéaires s’il existe un réel

k

tel que

\vec{v} = k \vec{u}

(ou

\vec{u} = k \vec{v}

).
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s’ils ont la même direction. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Exemple à traiter : Les vecteurs

\vec{u}

\vec{v} = - \frac{3}{2} \vec{u}

sont-ils colinéaires ? Et

2 \vec{u} + \vec{v}

\vec{u}

R2 · Vecteur directeur

Un vecteur directeur d’une droite

(d)

est un vecteur non nul

\vec{A B}

où

A

B

sont deux points distincts de

(d)

. Tout vecteur non nul colinéaire à

\vec{A B}

est aussi un vecteur directeur de

(d)

Exemple à traiter :

A

B

C

sont trois points d’une droite

(d)

. Cite trois vecteurs directeurs de

(d)

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Alignement et parallélisme

•

A

B

C

sont alignés si et seulement si

\vec{A B}

\vec{A C}

sont colinéaires.
• Les droites

(A B)

(C D)

sont parallèles si et seulement si

\vec{A B}

\vec{C D}

sont colinéaires.

Exemple à traiter :

A B C

est un triangle ;

M

N

sont définis par

\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B}

\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{A C}

. Démontre que

(M N) ∥ (B C)

Erreurs fréquentes

⚠ Conclure trop vite

Deux vecteurs colinéaires donnent des droites parallèles ou confondues : on vérifie s’il y a un point commun.

⚠ Utiliser des vecteurs sans point commun

Pour l’alignement, on prend deux vecteurs avec un point commun, comme

\vec{A B}

\vec{A C}

Exercice d’application

$A B C$ est un triangle. On place $E$ tel que $\vec{A E} = 2 \vec{A B} - \vec{A C}$ . Exprime $\vec{B E}$ en fonction de $\vec{C B}$ . Que peux-tu en conclure ?
$A B C D$ est un parallélogramme. $E$ et $F$ sont tels que $\vec{A E} = \frac{3}{2} \vec{A B}$ et $\vec{C F} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ . Exprime $\vec{D E}$ et $\vec{D F}$ en fonction de $\vec{A B}$ et $\vec{A D}$ . Les points $D$ , $E$ , $F$ sont-ils alignés ?
$I$ est le milieu de $[A B]$ et $J$ celui de $[A C]$ . Démontre vectoriellement que $\vec{I J} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ .

À retenir

Colinéaires ⟺

\vec{v} = k \vec{u}

. Points alignés ⟺

\vec{A B}

\vec{A C}

colinéaires. Droites parallèles ⟺ vecteurs directeurs colinéaires.