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MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Multiplication d’un vecteur par un nombre réel · Leçon 1

Produit d’un vecteur par un nombre réel

Allonger, raccourcir ou retourner un vecteur.

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Cours de Mathématiques : « Produit d’un vecteur par un nombre réel », proposé par ndolomathndolomath

Vecteur × réel

💡 Idée principale : Multiplier un vecteur

\vec{u}

par un réel

k

, c’est obtenir un vecteur de même direction que

\vec{u}

, dont la longueur est multipliée par

| k |

et dont le sens dépend du signe de

k

Ce que tu vas apprendre

Définir le vecteur $k \vec{u}$ (direction, sens, longueur).
Construire le vecteur $k \vec{u}$ .
Utiliser les règles de calcul : $k (\vec{u} + \vec{v})$ , $(k + k^{'}) \vec{u}$ , $k (k^{'} \vec{u})$ .
Caractériser le milieu d’un segment par une égalité vectorielle.

Pourquoi cette leçon ?

Une voiture qui roule deux fois plus vite dans la même direction, un bateau qui recule, une force trois fois plus grande : ces situations se décrivent en multipliant un vecteur par un nombre.

Prérequis : vérifie tes bases

Rappelle les trois caractéristiques d’un vecteur non nul.

Construis la somme de deux vecteurs avec la relation de Chasles.

Que signifie

\vec{A B} = \vec{C D}

pour le quadrilatère

A B D C

Situation problème : Les deux pirogues

Sur le Wouri, deux pirogues partent du même ponton $A$ dans la même direction. Après une heure, la première est en $B$ . La seconde, deux fois plus rapide, est en $C$ . Une troisième pirogue part dans la direction opposée à la même vitesse que la première et arrive en $D$ .
Comment exprimer les déplacements $\vec{A C}$ et $\vec{A D}$ à l’aide de $\vec{A B}$ ?

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Activité d’apprentissage

On donne un vecteur $\vec{u} = \vec{A B}$ avec $A B = 3$ cm.

Construis le vecteur $\vec{u} + \vec{u}$ à partir de $A$ . Compare sa direction, son sens et sa longueur avec ceux de $\vec{u}$ .
Construis de même $\vec{u} + \vec{u} + \vec{u}$ , puis $- \vec{u}$ et $- \vec{u} - \vec{u}$ .
Comment noterais-tu simplement ces vecteurs ?
Réponds à la question de la situation problème.

Définition

Soit

\vec{u}

un vecteur non nul et

k

un réel non nul. Le vecteur

k \vec{u}

a :
• la même direction que

\vec{u}

;
• le même sens que

\vec{u}

k > 0

, le sens contraire si

k < 0

;
• pour longueur

| k | \times ‖ \vec{u} ‖

.
Si

k = 0

\vec{u} = \vec{0}

, alors

k \vec{u} = \vec{0}

Exemple à traiter : Sur un quadrillage, trace un vecteur

\vec{u}

, puis construis

2 \vec{u}

- 3 \vec{u}

\frac{1}{2} \vec{u}

à partir d’un même point.

R2 · Règles de calcul

Pour tous vecteurs

\vec{u}

\vec{v}

et tous réels

k

k^{'}

k (\vec{u} + \vec{v}) = k \vec{u} + k \vec{v} (k + k^{'}) \vec{u} = k \vec{u} + k^{'} \vec{u} k (k^{'} \vec{u}) = (k k^{'}) \vec{u}

Exemple à traiter : Simplifie :

3 \vec{u} + 2 (\vec{u} - \vec{v})

;

- 2 (3 \vec{u}) + 5 \vec{u}

;

\frac{1}{2} (4 \vec{u} - 6 \vec{v})

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Milieu d’un segment

I

est le milieu de

[A B]

si et seulement si

\vec{A I} = \frac{1}{2} \vec{A B}

, ou encore

\vec{A B} = 2 \vec{A I}

, ou encore

\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}

Exemple à traiter :

I

est le milieu de

[A B]

. Exprime

\vec{I B}

\vec{B A}

en fonction de

\vec{A I}

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier le sens

- 2 \vec{u}

a la même direction que

\vec{u}

, mais un sens contraire.

⚠ Multiplier la longueur par k négatif

La longueur de

k \vec{u}

est \(

Exercice d’application

$A B C$ est un triangle. Construis le point $M$ tel que $\vec{A M} = 2 \vec{A B}$ et le point $N$ tel que $\vec{A N} = - \frac{1}{2} \vec{A C}$ .
Simplifie $\vec{w} = 2 (\vec{u} - 3 \vec{v}) - 3 (\vec{u} - 2 \vec{v})$ .
$A B C D$ est un parallélogramme de centre $O$ . Exprime $\vec{A C}$ en fonction de $\vec{A O}$ , puis $\vec{A B} + \vec{A D}$ en fonction de $\vec{A O}$ .

À retenir

k \vec{u}

: même direction que

\vec{u}

, même sens si

k > 0

, sens contraire si

k < 0

, longueur multipliée par

| k |

I

milieu de

[A B]

⟺

\vec{A B} = 2 \vec{A I}