Cours
MATHÉMATIQUES · 3e
Chapitre : Homothétie · Leçon 2

Agrandissement et réduction

Ce que l’homothétie conserve et ce qu’elle multiplie.
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Cours de Mathématiques : « Agrandissement et réduction », proposé par ndolomathndolomath
Agrandissement et réduction
💡 Idée principale : Une homothétie de rapport k transforme une figure en un agrandissement (si |k|>1) ou une réduction (si |k|<1). Elle conserve les angles, l’alignement et le parallélisme ; les longueurs sont multipliées par |k|, les aires par k2.
Ce que tu vas apprendre
  1. Connaître les propriétés de conservation d’une homothétie.
  2. Calculer des longueurs et des aires dans un agrandissement ou une réduction.
  3. Utiliser une homothétie pour construire une figure à l’échelle.
Pourquoi cette leçon ?
Une maquette de maison, une carte routière ou la photo d’un terrain sont des réductions. Pour retrouver les vraies dimensions et la vraie surface, il faut connaître le coefficient et savoir comment il agit sur les longueurs et les aires.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Construis l’image d’un point par h(O;2).
2
Calcule k2 pour k=3 et k=14.
3
Rappelle la formule de l’aire d’un rectangle et d’un disque.
Situation problème : La maquette du lycée

Un élève de 3e réalise la maquette de son lycée à l’échelle 1200. Sur la maquette, la cour rectangulaire mesure 30 cm sur 20 cm et le mât du drapeau 4 cm.
Quelles sont les vraies dimensions de la cour et du mât ? Quelle est l’aire réelle de la cour ?

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Activité d’apprentissage

ABCD est un rectangle de 3 cm sur 2 cm, O un point extérieur. On construit son image A′B′C′D′ par h(O;2).

  1. Construis A′B′C′D′. Quelle est sa nature ? Mesure ses côtés.
  2. Compare les angles, le parallélisme des côtés et l’alignement des points.
  3. Calcule les aires des deux rectangles. Par quel nombre l’aire est-elle multipliée ?
  4. Applique ces résultats à la maquette du lycée.
R1
Propriétés de conservation
Une homothétie transforme :
• une droite en une droite parallèle ;
• un segment en un segment ; un cercle de rayon r en un cercle de rayon |k|r ;
• elle conserve l’alignement, le parallélisme, l’orthogonalité et les mesures d’angles.
Exemple à traiter : Par une homothétie de rapport −3, un cercle de rayon 2 cm a pour image un cercle de quel rayon ? Que devient un carré ?
R2 · Longueurs, aires, volumes
Dans une homothétie de rapport k :
• les longueurs sont multipliées par |k| ;
• les aires sont multipliées par k2 ;
• les volumes (dans l’espace) sont multipliés par |k|3.
Si |k|>1 : agrandissement ; si |k|<1 : réduction.
Exemple à traiter : Un triangle d’aire 12 cm² est réduit par une homothétie de rapport 12. Quelle est l’aire de son image ?
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R3
Échelle
Une carte ou une maquette à l’échelle 1n est une réduction de coefficient 1n : 1 cm sur la maquette représente n cm en réalité.
Exemple à traiter : Sur une carte au 150000, deux villages sont à 6,5 cm. Quelle est la distance réelle en km ?
Erreurs fréquentes
⚠ Multiplier l’aire par k
L’aire est multipliée par k2, pas par k.
⚠ Rapport négatif et longueur
Avec k=−2, les longueurs sont multipliées par 2 (et non par −2).
Exercice d’application
  1. Un disque de rayon 5 cm est agrandi par une homothétie de rapport 3. Calcule le rayon et l’aire de l’image, puis le rapport des aires.
  2. Réponds aux questions de la situation problème.
  3. Une photo de 10 cm sur 15 cm est agrandie en poster d’aire 2 400 cm². Quel est le coefficient d’agrandissement ? Quelles sont les dimensions du poster ?
À retenir
L’homothétie conserve angles, alignement et parallélisme. Longueurs × |k|, aires × k2, volumes × |k|3. |k|>1 : agrandissement ; |k|<1 : réduction.
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