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MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Homothétie · Leçon 1

Image d’un point par une homothétie

Agrandir ou réduire une figure à partir d’un centre.

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Cours de Mathématiques : « Image d’un point par une homothétie », proposé par ndolomathndolomath

Homothétie

💡 Idée principale : Une homothétie de centre

O

et de rapport

k

associe à tout point

M

le point

M^{'}

tel que

\vec{O M^{'}} = k \vec{O M}

. Elle agrandit ou réduit les figures en conservant leur forme.

Ce que tu vas apprendre

Définir une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ (non nul).
Construire l’image d’un point par une homothétie.
Reconnaître les cas $k > 0$ et $k < 0$ .
Déterminer le rapport d’une homothétie connaissant un point et son image.

Pourquoi cette leçon ?

Un projecteur de cinéma, une loupe ou un photocopieur qui agrandit un document réalisent des homothéties : chaque point de l’image est sur une droite passant par un centre, à une distance proportionnelle.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis le point

M^{'}

tel que

\vec{O M^{'}} = 2 \vec{O M}

, puis

\vec{O N^{'}} = - \frac{1}{2} \vec{O N}

Énonce la propriété de Thalès.

Que dire de trois points

O

M

M^{'}

tels que

\vec{O M^{'}} = k \vec{O M}

Situation problème : Le projecteur de la salle des fêtes

À la salle des fêtes de Bamenda, un projecteur placé en $O$ projette une diapositive sur un écran parallèle. La diapositive est à 10 cm de la lampe et l’écran à 4 m. Un point $M$ de la diapositive donne un point $M^{'}$ sur l’écran.
Comment construire $M^{'}$ ? Par combien les longueurs sont-elles multipliées ?

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Activité d’apprentissage

On place un point $O$ et trois points $A$ , $B$ , $C$ non alignés.

Construis $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ tels que $\vec{O A^{'}} = 3 \vec{O A}$ , $\vec{O B^{'}} = 3 \vec{O B}$ , $\vec{O C^{'}} = 3 \vec{O C}$ .
Compare le triangle $A^{'} B^{'} C^{'}$ au triangle $A B C$ . Mesure $A^{'} B^{'}$ et $A B$ .
Recommence avec le rapport $- \frac{1}{2}$ . Où se trouvent les images par rapport à $O$ ?
Dans la situation problème, quel est le rapport ? Explique la construction de $M^{'}$ .

Définition

Soit

O

un point et

k

un réel non nul. L’homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ , notée

h (O; k)

, associe à tout point

M

le point

M^{'}

tel que :

\vec{O M^{'}} = k \vec{O M}

O

M

M^{'}

sont alignés et le centre

O

est sa propre image.

Exemple à traiter : Construis l’image d’un segment

[A B]

par l’homothétie de centre

O

et de rapport 2, puis de rapport

- 1

R2 · Signe du rapport

• Si

k > 0

M

M^{'}

sont du même côté de

O

.
• Si

k < 0

O

est entre

M

M^{'}

.
• Si

k = - 1

: l’homothétie est la symétrie centrale de centre

O

.
• Si

k = 1

: chaque point est sa propre image.

Exemple à traiter : Pour

h (O; - 3)

, place un point

M

et son image

M^{'}

. Que vaut

O M^{'}

O M = 2

cm ?

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Trouver le rapport

M^{'} = h (M)

, alors

k = \frac{O M^{'}}{O M}

M

M^{'}

sont du même côté de

O

, et

k = - \frac{O M^{'}}{O M}

sinon.

Exemple à traiter :

O

A

A^{'}

sont alignés dans cet ordre avec

O A = 3

O A^{'} = 7, 5

. Quel est le rapport de l’homothétie de centre

O

qui transforme

A

A^{'}

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier le signe

Si le centre est entre le point et son image, le rapport est négatif.

⚠ Mesurer depuis le mauvais point

Les distances se mesurent toujours à partir du centre

O

Exercice d’application

Trace un triangle $E F G$ et un point $O$ extérieur. Construis son image par $h (O; \frac{2}{3})$ .
Construis l’image du triangle $E F G$ par $h (E; - 2)$ .
Dans la situation problème, la diapositive mesure 3,6 cm de large. Quelle est la largeur de l’image sur l’écran ?

À retenir

h (O; k)

\vec{O M^{'}} = k \vec{O M}

O

M

M^{'}

alignés.

k > 0

: même côté ;

k < 0

: de part et d’autre de

O