Systèmes d’inéquations du premier degré dans ℝ × ℝ

La zone du plan qui respecte toutes les contraintes.

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Cours de Mathématiques : « Systèmes d’inéquations du premier degré dans ℝ × ℝ », proposé par ndolomathndolomath

Systèmes d’inéquations

💡 Idée principale : Les solutions d’un système d’inéquations sont les couples qui vérifient toutes les inéquations à la fois. Graphiquement, c’est la partie du plan commune à tous les demi-plans solutions.

Ce que tu vas apprendre

Vérifier qu’un couple est solution d’un système d’inéquations.
Représenter graphiquement l’ensemble des solutions d’un système.
Résoudre un problème d’optimisation simple avec un graphique.

Pourquoi cette leçon ?

Un agriculteur dispose de peu de terrain, d’un budget limité et de peu de main-d’œuvre. Pour choisir combien planter de maïs et de haricots, il doit respecter toutes ces contraintes à la fois : c’est un système d’inéquations.

Prérequis : vérifie tes bases

Représente les solutions de

x + y \leq 5

Représente les solutions de

x \geq 0

Détermine le point d’intersection des droites

x + y = 5

x - y = 1

Situation problème : Le champ de M. Abena

M. Abena dispose d’au plus 8 hectares pour planter du maïs ( $x$ hectares) et des haricots ( $y$ hectares). Un hectare de maïs coûte 60 000 F à cultiver, un hectare de haricots 30 000 F, et il ne peut pas dépenser plus de 360 000 F.
Quelles répartitions sont possibles ? Peut-il planter 5 ha de maïs et 3 ha de haricots ?

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Activité d’apprentissage

On traduit toutes les contraintes de M. Abena.

Écris les quatre inéquations qui traduisent la situation (surfaces positives, surface totale, coût).
Représente chaque inéquation dans un même repère en hachurant la partie qui ne convient pas.
Décris la région restée blanche. Quels sont ses sommets ?
Le couple $(5; 3)$ est-il dans cette région ? Réponds à la question.

Système d’inéquations

Un système d’inéquations du premier degré dans

R \times R

est formé de plusieurs inéquations à résoudre simultanément. Une solution est un couple qui vérifie toutes les inéquations.

Exemple à traiter : Le couple

(2; 1)

est-il solution de

{\begin{cases} x + y \leq 4 \\ x - 2 y > 1 \end{cases}

R2 · Résolution graphique

1. Représenter chaque inéquation dans le même repère, en hachurant à chaque fois le demi-plan qui ne convient pas.
2. L’ensemble des solutions est la région non hachurée, commune à tous les demi-plans.
3. Préciser si les bords font partie des solutions.

Exemple à traiter : Résous graphiquement

{\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + 2 y \leq 6 \end{cases}

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Sommets de la région

Les sommets de la région solution sont les points d’intersection des droites frontières ; on les calcule en résolvant des systèmes d’équations. Dans les problèmes d’optimisation, la meilleure solution se trouve souvent en un sommet.

Exemple à traiter : Calcule les coordonnées des sommets de la région solution de

{\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 5 \\ 2 x + y \leq 8 \end{cases}

Erreurs fréquentes

⚠ Hachurer différemment

Garde la même convention pour toutes les inéquations, sinon la région solution est illisible.

⚠ Oublier les contraintes de signe

Des quantités (hectares, objets) imposent

x \geq 0

y \geq 0

Exercice d’application

Résous graphiquement ${\begin{cases} x - y + 2 \geq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
Dans la situation problème, calcule les coordonnées des sommets de la région solution.
Le bénéfice de M. Abena est de 100 000 F par hectare de maïs et 70 000 F par hectare de haricots. Calcule le bénéfice à chaque sommet. Quelle répartition est la plus rentable ?

À retenir

Système d’inéquations : on représente chaque demi-plan, la solution est la région commune. Les sommets s’obtiennent en résolvant des systèmes d’équations.