Cours
MATHÉMATIQUES · 3e
Chapitre : Equations et inéquations du 1er degré dans ℝ × ℝ · Leçon 3

Inéquations du premier degré dans ℝ × ℝ

Un demi-plan pour représenter les solutions.
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Cours de Mathématiques : « Inéquations du premier degré dans ℝ × ℝ », proposé par ndolomathndolomath
Inéquations à deux inconnues
💡 Idée principale : Les solutions d’une inéquation ax+by+c>0 sont représentées par un demi-plan limité par la droite d’équation ax+by+c=0. On trouve le bon côté grâce à un point test.
Ce que tu vas apprendre
  1. Reconnaître une inéquation du premier degré dans R×R.
  2. Vérifier si un couple est solution.
  3. Représenter graphiquement l’ensemble des solutions (demi-plan).
Pourquoi cette leçon ?
Un commerçant veut que sa recette dépasse ses dépenses, un éleveur dispose d’une quantité limitée de nourriture : ces contraintes s’écrivent avec deux inconnues et une inégalité. Leur représentation montre d’un coup d’œil toutes les possibilités.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Trace la droite d’équation 2x+y−4=0.
2
Le point (0;0) vérifie-t-il 2x+y−4<0 ?
3
Résous dans R : 3x−6>0.
Situation problème : Le budget du club

Le club de mathématiques veut acheter des cahiers à 300 F et des stylos à 100 F, sans dépasser un budget de 3 000 F.
Quelles combinaisons d’achats sont possibles ? Comment les représenter toutes sur un même graphique ?

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Activité d’apprentissage

On note x le nombre de cahiers et y le nombre de stylos.

  1. Traduis la contrainte de budget par une inégalité.
  2. Les couples (5;10), (8;8) et (10;0) conviennent-ils ?
  3. Trace la droite d’équation 300x+100y=3000. Place les trois couples de la question 2. De quel côté de la droite se trouvent ceux qui conviennent ?
  4. Hachure la région qui ne convient pas.
R1
Définition
Une inéquation du premier degré dans R×R s’écrit ax+by+c>0 (ou <, ≥, ≤), avec a et b non tous deux nuls. Une solution est un couple qui vérifie l’inégalité.
Exemple à traiter : Les couples (1;2) et (−3;0) sont-ils solutions de x−2y+1≤0 ?
R2 · Représentation graphique
La droite (D) d’équation ax+by+c=0 partage le plan en deux demi-plans. Dans l’un, ax+by+c>0 ; dans l’autre, ax+by+c<0.
Méthode : 1. tracer (D) (en pointillés si l’inégalité est stricte) ; 2. tester un point qui n’est pas sur (D), souvent O(0;0) ; 3. hachurer le demi-plan qui ne convient pas.
Exemple à traiter : Représente l’ensemble des solutions de x+y−3>0, puis de 2x−y≤4.
R3
Droite frontière
• Inégalité large (≤, ≥) : les points de la droite sont solutions (trait plein).
• Inégalité stricte (<, >) : les points de la droite ne sont pas solutions (pointillés).
Exemple à traiter : Représente l’ensemble des solutions de y<−2x+1 en précisant la nature du trait.
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Erreurs fréquentes
⚠ Test sur la droite
Le point test ne doit pas être sur la droite frontière.
⚠ Hachurer le mauvais côté
Convention : on hachure la partie qui ne convient pas, et on le précise.
Exercice d’application
  1. Représente graphiquement l’ensemble des solutions de 3x−2y+6≥0.
  2. Représente l’ensemble des solutions de x>2 et de y≤−1.
  3. Dans la situation problème, représente les solutions avec x≥0 et y≥0, puis donne deux achats possibles.
À retenir
La droite ax+by+c=0 sépare le plan en deux demi-plans. Un point test indique le bon côté. Trait plein pour ≤ ou ≥, pointillés pour < ou >.
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Préparation du PDF…