Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Equations et inéquations du 1er degré dans ℝ × ℝ · Leçon 2

Systèmes de deux équations du premier degré

Trouver le couple qui vérifie deux conditions à la fois.

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Cours de Mathématiques : « Systèmes de deux équations du premier degré », proposé par ndolomathndolomath

Systèmes d’équations

💡 Idée principale : Un système de deux équations à deux inconnues cherche les couples qui vérifient les deux équations en même temps. On le résout par substitution, par combinaison, ou graphiquement en cherchant le point d’intersection de deux droites.

Ce que tu vas apprendre

Vérifier qu’un couple est solution d’un système.
Résoudre un système par substitution.
Résoudre un système par combinaison (addition).
Interpréter graphiquement un système et mettre un problème en système.

Pourquoi cette leçon ?

Au marché, deux clientes achètent des mangues et des avocats en quantités différentes et paient des sommes différentes. Retrouver le prix de chaque fruit, c’est résoudre un système de deux équations.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous :

2 x + 3 = 11

Exprime

y

en fonction de

x

dans

3 x + y = 7

Trace les droites d’équations

y = x + 1

y = - x + 5

. Lis les coordonnées de leur point d’intersection.

Situation problème : Les mangues et les avocats

Au marché de Mvog-Mbi, Mireille achète 3 mangues et 2 avocats pour 800 F. Sa voisine achète 2 mangues et 5 avocats pour 1 450 F, au même prix unitaire.
Quel est le prix d’une mangue et celui d’un avocat ?

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Activité d’apprentissage

On note $x$ le prix d’une mangue et $y$ celui d’un avocat, en francs.

Traduis chaque achat par une équation.
Exprime $x$ en fonction de $y$ dans une des équations et remplace dans l’autre. Résous l’équation obtenue.
Multiplie la première équation par 2 et la seconde par 3, puis soustrais-les. Que se passe-t-il ?
Donne les prix et vérifie qu’ils conviennent pour les deux achats.

Système et solution

Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues s’écrit :

{\begin{cases} a x + b y = c \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} \end{cases}

Une solution est un couple qui vérifie les deux équations à la fois.

Exemple à traiter : Le couple

(2; - 1)

est-il solution du système

{\begin{cases} 3 x + y = 5 \\ x - 2 y = 4 \end{cases}

R2 · Méthode par substitution

1. Exprimer une inconnue en fonction de l’autre dans une équation.
2. Remplacer dans l’autre équation et résoudre.
3. Calculer la seconde inconnue, puis vérifier.

Exemple à traiter : Résous par substitution :

{\begin{cases} x + 3 y = 7 \\ 2 x - y = 0 \end{cases}

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Méthode par combinaison

On multiplie les équations par des nombres choisis pour que les coefficients d’une inconnue deviennent opposés, puis on additionne membre à membre pour éliminer cette inconnue.

Exemple à traiter : Résous par combinaison :

{\begin{cases} 5 x + 2 y = 1 \\ 3 x - 4 y = 11 \end{cases}

Interprétation graphique

Chaque équation est celle d’une droite. Si les droites sont sécantes, le système a une solution unique : les coordonnées du point d’intersection. Si elles sont strictement parallèles, aucune solution ; si elles sont confondues, une infinité.

Exemple à traiter : Résous graphiquement

{\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}

, puis vérifie par le calcul.

Erreurs fréquentes

⚠ Ne vérifier qu’une équation

La solution doit vérifier les deux équations.

⚠ Combinaison incomplète

On multiplie tous les termes d’une équation, y compris le second membre.

Exercice d’application

Résous par la méthode de ton choix : ${\begin{cases} 2 x - 3 y = - 1 \\ 4 x + y = 19 \end{cases}$
Résous : ${\begin{cases} \frac{x}{2} + y = 4 \\ x - \frac{y}{3} = 1 \end{cases}$
Dans un enclos, il y a des poules et des chèvres : 35 têtes et 94 pattes. Combien y a-t-il de poules et de chèvres ?

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À retenir

Un système cherche le couple commun aux deux équations. Substitution : on exprime une inconnue et on remplace. Combinaison : on élimine une inconnue. Graphiquement : point d’intersection des deux droites.