Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Equations et inéquations du 1er degré dans ℝ × ℝ · Leçon 1

Équations du premier degré dans ℝ × ℝ

Une infinité de couples solutions, tous alignés.

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Cours de Mathématiques : « Équations du premier degré dans ℝ × ℝ », proposé par ndolomathndolomath

Équations à deux inconnues

💡 Idée principale : Une équation du premier degré à deux inconnues,

a x + b y + c = 0

, a une infinité de solutions : ce sont des couples

(x; y)

. Dans un repère, ces couples sont les coordonnées des points d’une droite.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une équation du premier degré dans $R \times R$ .
Vérifier si un couple est solution.
Trouver des couples solutions en choisissant une valeur d’une inconnue.
Représenter graphiquement l’ensemble des solutions.

Pourquoi cette leçon ?

« Avec 2 000 F, j’achète des beignets à 50 F et des bonbons à 25 F : combien de chaque ? » Il y a plusieurs réponses possibles. Une équation à deux inconnues décrit toutes ces possibilités à la fois.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous :

3 x - 6 = 0

Le point

(1; 2)

appartient-il à la droite d’équation

2 x - y = 0

Trace la droite d’équation

y = - x + 3

Situation problème : Le goûter de la classe

Le délégué de 3e dispose de 2 000 F pour acheter des beignets à 50 F pièce et des bonbons à 25 F pièce. Il veut dépenser toute la somme.
Combien de beignets et de bonbons peut-il acheter ? Y a-t-il une seule possibilité ?

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Activité d’apprentissage

On note $x$ le nombre de beignets et $y$ le nombre de bonbons.

Traduis la situation par une égalité entre $x$ et $y$ .
Le couple $(20; 40)$ convient-il ? Et $(30; 30)$ ?
Donne trois autres couples qui conviennent.
Place ces couples dans un repère. Que remarques-tu ? Réponds au délégué.

Définition

Une équation du premier degré dans $R \times R$ est une équation de la forme

a x + b y + c = 0

, où

a

b

c

sont des réels,

a

b

n’étant pas tous deux nuls. Une solution est un couple

(x_{0}; y_{0})

qui vérifie l’égalité.

Exemple à traiter : Les couples

(2; 1)

(- 1; 5)

(0; 3)

sont-ils solutions de

2 x + y - 5 = 0

R2 · Trouver des solutions

On choisit une valeur pour l’une des inconnues, puis on résout l’équation du premier degré obtenue pour trouver l’autre. Si

b \neq 0

, on peut écrire

y

en fonction de

x

: les solutions sont les couples

(x; - \frac{a}{b} x - \frac{c}{b})

Exemple à traiter : Donne quatre couples solutions de

3 x - 2 y + 6 = 0

, dont un avec

x = 0

et un avec

y = 0

Interprétation graphique

Dans un repère, l’ensemble des solutions de

a x + b y + c = 0

est représenté par la droite d’équation

a x + b y + c = 0

. L’équation a donc une infinité de solutions.

Exemple à traiter : Représente graphiquement l’ensemble des solutions de

x + 2 y - 4 = 0

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Erreurs fréquentes

⚠ Une seule solution ?

Une équation à deux inconnues a une infinité de couples solutions.

⚠ Inverser x et y

Dans le couple

(x; y)

, la première valeur est toujours celle de

x

Exercice d’application

Le couple $(\frac{1}{2}; - 3)$ est-il solution de $4 x + y + 1 = 0$ ?
Donne trois couples solutions de $5 x - y = 7$ et représente l’ensemble des solutions.
Dans la situation problème, combien de couples d’entiers naturels conviennent ? Donne celui où le nombre de beignets est égal au nombre de bonbons, s’il existe.

À retenir

a x + b y + c = 0

a une infinité de solutions

(x; y)

, représentées par une droite. Pour en trouver une, on fixe une inconnue et on calcule l’autre.