Cours
MATHÉMATIQUES · 3e
Chapitre : Equations et inéquations du 1er degré à une inconnue dans ℝ · Leçon 3

Inéquations de la forme ax + b > 0

Trouver tous les nombres qui vérifient une inégalité.
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Cours de Mathématiques : « Inéquations de la forme ax + b > 0 », proposé par ndolomathndolomath
Inéquations ax + b > 0
💡 Idée principale : Une inéquation a en général une infinité de solutions, qui forment un intervalle. On la résout comme une équation, mais en changeant le sens de l’inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.
Ce que tu vas apprendre
  1. Utiliser les règles de transformation d’une inégalité.
  2. Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue.
  3. Écrire l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle et le représenter.
  4. Résoudre un problème conduisant à une inéquation.
Pourquoi cette leçon ?
« Combien de bidons puis-je acheter avec au plus 10 000 F ? », « à partir de combien de clients l’affaire devient-elle rentable ? » : ces questions ne demandent pas une valeur exacte mais toutes les valeurs possibles. On les traduit par des inéquations.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Écris sous forme d’intervalle : x≥3 ; x<−1.
2
Compare −2 et 5, puis −3×(−2) et −3×5.
3
Résous : 3x−12=0.
Situation problème : Les deux forfaits

Un opérateur propose deux forfaits mensuels : forfait A à 2 000 F plus 25 F la minute, forfait B à 50 F la minute sans abonnement.
À partir de combien de minutes d’appel par mois le forfait A devient-il plus avantageux ?

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Activité d’apprentissage

On note x le nombre de minutes d’appel par mois.

  1. Exprime en fonction de x le prix payé avec chaque forfait.
  2. Traduis « le forfait A est moins cher que le forfait B » par une inégalité.
  3. Compare 2<5 et −3×2 avec −3×5. Que se passe-t-il quand on multiplie par un nombre négatif ?
  4. Résous l’inégalité et réponds à la question.
R1
Règles de transformation
On obtient une inéquation équivalente :
• en ajoutant ou soustrayant un même nombre aux deux membres ;
• en multipliant ou divisant par un même nombre positif (le sens ne change pas) ;
• en multipliant ou divisant par un même nombre négatif, à condition de changer le sens de l’inégalité.
Exemple à traiter : Résous : x−5>2 ; 3x≤12 ; −2x<8 ; −x3≥1.
R2 · Inéquation ax+b>0
On isole x : ax>−b, puis on divise par a :
• si a>0 : x>−ba, donc S=]−ba;+∞[ ;
• si a<0 : x<−ba, donc S=]−∞;−ba[.
Exemple à traiter : Résous dans R et représente les solutions : 2x−6>0 ; −4x+10≥0 ; 5−3x<0.
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R3
Inéquations plus générales
On développe, on regroupe les termes en x d’un côté et les nombres de l’autre, puis on applique les règles. Le résultat s’écrit sous forme d’intervalle, avec le bon crochet (strict ou large).
Exemple à traiter : Résous : 3(x−2)≤5x+4 et x+12>2x−13.
Erreurs fréquentes
⚠ Oublier de changer le sens
Diviser par −2 change < en > et ≤ en ≥.
⚠ Mauvais crochet
Pour x>3, le nombre 3 n’est pas solution : on écrit ]3;+∞[.
Exercice d’application
  1. Résous dans R : 7x+14<0 ; −x+4≥2x−5.
  2. Résous : 2(3−x)>4−3(x+1) et représente les solutions sur une droite graduée.
  3. Un vendeur gagne 40 000 F par mois plus 500 F par article vendu. Combien d’articles doit-il vendre au minimum pour gagner plus de 75 000 F ?
À retenir
On résout une inéquation comme une équation, mais multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l’inégalité. Les solutions forment un intervalle.
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Préparation du PDF…