Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Equations et inéquations du 1er degré à une inconnue dans ℝ · Leçon 2

Équations se ramenant au premier degré

Factoriser pour transformer une équation difficile en équations simples.

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Cours de Mathématiques : « Équations se ramenant au premier degré », proposé par ndolomathndolomath

Équations produit et autres

💡 Idée principale : Certaines équations ne sont pas du premier degré, mais on peut s’y ramener : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. On factorise, puis on résout plusieurs équations du premier degré.

Ce que tu vas apprendre

Résoudre une équation produit $(a x + b) (c x + d) = 0$ .
Factoriser pour se ramener à une équation produit.
Résoudre une équation quotient en tenant compte de la condition d’existence.
Résoudre une équation du type $x^{2} = a$ .

Pourquoi cette leçon ?

Pour trouver la taille d’un terrain dont on connaît l’aire, ou le moment où un objet lancé retombe au sol, on obtient des équations avec

x^{2}

. En les factorisant, on les ramène à des équations simples.

Prérequis : vérifie tes bases

Factorise :

x^{2} - 16

;

3 x^{2} + 6 x

;

x^{2} - 10 x + 25

Résous :

2 x - 7 = 0

Que vaut

a \times b

a = 0

Situation problème : Le terrain agrandi

Un terrain carré de côté $x$ mètres est agrandi : on ajoute 3 m à un côté et on retire 3 m à l’autre. Le géomètre constate que l’aire du nouveau terrain rectangulaire est égale à celle d’une bande de 2 m de large sur $(x - 3)$ m. Il obtient l’équation $(x - 3) (x + 3) = 2 x - 6$ .
Quelles sont les valeurs possibles de $x$ ?

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Activité d’apprentissage

On étudie l’équation $(x - 3) (x + 3) = 2 x - 6$ .

Factorise $2 x - 6$ . Quel facteur commun apparaît avec le membre de gauche ?
Ramène tous les termes dans le membre de gauche, puis factorise.
Si un produit de deux facteurs est nul, que peut-on dire de ces facteurs ?
Résous l’équation et indique les valeurs qui conviennent pour une longueur.

Équation produit

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

(a x + b) (c x + d) = 0 ⟺ a x + b = 0 ou c x + d = 0

Exemple à traiter : Résous dans

R

(x - 4) (2 x + 3) = 0

;

x (5 - x) = 0

;

(3 x - 1)^{2} = 0

R2 · Se ramener à une équation produit

1. Ramener tous les termes dans un seul membre (l’autre membre vaut 0).
2. Factoriser l’expression obtenue.
3. Appliquer la règle du produit nul.

Exemple à traiter : Résous :

x^{2} - 25 = 0

;

x^{2} = 7 x

;

(2 x + 1)^{2} - (x - 3)^{2} = 0

Équation quotient

\frac{A}{B} = 0 ⟺ A = 0

B \neq 0

.
On écrit d’abord la condition d’existence

B \neq 0

, puis on résout

A = 0

et on élimine les valeurs interdites.

Exemple à traiter : Résous dans

R

\frac{x - 2}{x + 5} = 0

;

\frac{x^{2} - 9}{x - 3} = 0

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Erreurs fréquentes

⚠ Diviser par x

Dans

x^{2} = 7 x

, diviser par

x

fait perdre la solution

x = 0

: on factorise.

⚠ Oublier la condition d’existence

Une valeur qui annule le dénominateur n’est jamais solution.

Exercice d’application

Résous dans $R$ : $(5 x + 2) (x - 7) = 0$ ; $4 x^{2} - 9 = 0$ .
Résous : $x^{2} + 6 x + 9 = 0$ et $(x + 1) (2 x - 3) = (x + 1) (x + 4)$ .
Résous : $\frac{2 x + 6}{x^{2} - 9} = 0$ .

À retenir

Produit nul ⟺ un facteur nul : on ramène tout d’un côté, on factorise, puis on résout chaque facteur. Pour un quotient, le dénominateur ne doit jamais s’annuler.