Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Equations de droites · Leçon 4

Positions relatives de deux droites

Parallèles, sécantes ou perpendiculaires : le dire par le calcul.

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Positions de deux droites

💡 Idée principale : La position de deux droites se lit dans leurs équations : des coefficients directeurs égaux donnent des droites parallèles ; sinon elles sont sécantes. Des vecteurs directeurs orthogonaux indiquent des droites perpendiculaires.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître deux droites parallèles ou sécantes à partir de leurs équations.
Reconnaître deux droites perpendiculaires (repère orthonormé).
Calculer les coordonnées du point d’intersection de deux droites sécantes.

Pourquoi cette leçon ?

Deux routes se croisent-elles ? Où exactement ? Deux rails restent-ils parallèles ? Les équations des droites permettent de répondre sans dessiner, avec précision.

Prérequis : vérifie tes bases

Donne le coefficient directeur de

y = 3 x - 2

et de

2 x + y - 1 = 0

Énonce la condition d’orthogonalité de deux vecteurs.

Résous :

3 x - 2 = - x + 6

Situation problème : Le carrefour

Sur le plan de la ville de Bafoussam (repère orthonormé), l’avenue principale a pour équation $y = 2 x - 1$ et une rue a pour équation $y = - \frac{1}{2} x + 4$ . Une troisième rue a pour équation $4 x - 2 y + 3 = 0$ .
L’avenue et la rue se coupent-elles à angle droit ? Où se trouve le carrefour ? La troisième rue croise-t-elle l’avenue ?

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Activité d’apprentissage

On considère les droites $(d_{1}) : y = 2 x - 1$ , $(d_{2}) : y = - \frac{1}{2} x + 4$ et $(d_{3}) : 4 x - 2 y + 3 = 0$ .

Écris l’équation réduite de $(d_{3})$ . Compare les coefficients directeurs de $(d_{1})$ et $(d_{3})$ . Que peux-tu en déduire ?
Donne un vecteur directeur de $(d_{1})$ et de $(d_{2})$ . Sont-ils orthogonaux ?
Calcule le produit des coefficients directeurs de $(d_{1})$ et $(d_{2})$ .
Résous $2 x - 1 = - \frac{1}{2} x + 4$ et déduis-en le point de rencontre de $(d_{1})$ et $(d_{2})$ .

Parallèles ou sécantes

Soient

(d) : y = m x + p

(d^{'}) : y = m^{'} x + p^{'}

.
•

(d) ∥ (d^{'})

si et seulement si

m = m^{'}

(confondues si de plus

p = p^{'}

).
•

(d)

(d^{'})

sont sécantes si et seulement si

m \neq m^{'}

Exemple à traiter : Étudie la position relative de

y = 3 x + 1

y = 3 x - 4

, puis de

y = 3 x + 1

6 x - 2 y + 2 = 0

R2 · Droites perpendiculaires

Dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
Pour

y = m x + p

y = m^{'} x + p^{'}

: elles sont perpendiculaires si et seulement si

m m^{'} = - 1

Exemple à traiter : Les droites

y = \frac{2}{3} x + 1

y = - \frac{3}{2} x - 5

sont-elles perpendiculaires ?

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Point d’intersection

Les coordonnées du point d’intersection de deux droites sécantes sont la solution du système formé par leurs deux équations. Avec des équations réduites, on résout

m x + p = m^{'} x + p^{'}

, puis on calcule

y

Exemple à traiter : Détermine les coordonnées du point d’intersection des droites

y = x + 2

y = - 2 x + 8

Erreurs fréquentes

⚠ Comparer les ordonnées à l’origine

Le parallélisme dépend de

m

, pas de

p

⚠ Oublier l’ordonnée

Après avoir trouvé

x

, on calcule

y

avec l’une des deux équations.

Exercice d’application

Étudie la position relative des droites $(d) : 2 x + 3 y - 6 = 0$ et $(d^{'}) : 4 x + 6 y + 1 = 0$ .
Détermine l’équation réduite de la perpendiculaire à $y = 4 x - 3$ passant par $A (4; 0)$ .
Détermine le point d’intersection de $y = 2 x - 5$ et $y = - x + 7$ .

À retenir

Même coefficient directeur ⟺ parallèles ; sinon sécantes. En repère orthonormé,

m m^{'} = - 1

⟺ perpendiculaires. Le point d’intersection est la solution du système des deux équations.