Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Equations de droites · Leçon 3

Équation d’une droite de coefficient directeur donné

La forme réduite y = mx + p et la pente d’une droite.

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Cours de Mathématiques : « Équation d’une droite de coefficient directeur donné », proposé par ndolomathndolomath

Coefficient directeur

💡 Idée principale : Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme

y = m x + p

. Le nombre

m

est son coefficient directeur (sa pente) et

p

son ordonnée à l’origine.

Ce que tu vas apprendre

Écrire l’équation réduite d’une droite.
Calculer le coefficient directeur d’une droite passant par deux points.
Déterminer l’équation d’une droite connaissant son coefficient directeur et un point.
Interpréter graphiquement $m$ et $p$ .

Pourquoi cette leçon ?

La pente d’une route, l’inclinaison d’un toit ou la vitesse de remplissage d’une cuve se lisent directement dans le coefficient directeur. La forme

y = m x + p

est celle qu’on rencontre le plus souvent.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

\frac{5 - (- 1)}{3 - 1}

Exprime

y

en fonction de

x

dans

2 x - y + 3 = 0

Calcule l’image de

- 2

par

x \mapsto 3 x - 1

Situation problème : La pente de la route

Une route rectiligne monte de Kumba vers une colline. Sur la carte, en unités de 100 m, elle passe par $A (1; 2)$ et $B (5; 4)$ . Pour la sécurité des camions, la pente (en ordonnée par unité d’abscisse) ne doit pas dépasser $\frac{3}{5}$ .
Cette route respecte-t-elle la règle ? Quelle est son équation ?

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Activité d’apprentissage

On considère la droite $(A B)$ de la situation.

Quand on passe de $A$ à $B$ , de combien augmente l’abscisse ? l’ordonnée ?
Calcule le quotient $\frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$ .
Détermine une équation cartésienne de $(A B)$ , puis exprime $y$ en fonction de $x$ .
Compare le coefficient de $x$ avec le quotient de la question 2 et réponds à la situation.

Équation réduite

• Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une unique équation de la forme

y = m x + p

.
•

m

est le coefficient directeur ;

p

est l’ordonnée à l’origine (la droite coupe l’axe des ordonnées au point

(0; p)

).
• Une droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation

x = k

Exemple à traiter : Donne le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine des droites :

y = - 2 x + 5

;

y = \frac{x}{3}

;

3 x + 2 y - 4 = 0

R2 · Coefficient directeur par deux points

A

B

sont deux points de la droite, avec

x_{A} \neq x_{B}

m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}

On obtient ensuite

p

en écrivant que

A

vérifie

y_{A} = m x_{A} + p

Exemple à traiter : Détermine l’équation réduite de la droite passant par

C (- 1; 4)

D (3; - 4)

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Point et coefficient directeur

La droite passant par

A (x_{A}; y_{A})

et de coefficient directeur

m

a pour équation :

y - y_{A} = m (x - x_{A})

Exemple à traiter : Détermine l’équation réduite de la droite de coefficient directeur

- \frac{1}{2}

passant par

E (4; 1)

Erreurs fréquentes

⚠ Inverser le quotient

m = \frac{Δ y}{Δ x}

: variation des ordonnées divisée par variation des abscisses.

⚠ Mélanger les points

On prend les coordonnées dans le même ordre au numérateur et au dénominateur.

Exercice d’application

Détermine l’équation réduite de la droite passant par $R (2; - 3)$ et $S (- 4; 6)$ .
Trace la droite d’équation $y = \frac{2}{3} x - 1$ en utilisant $p$ et $m$ .
Détermine l’équation réduite de la droite de coefficient directeur 3 passant par $T (- 1; - 2)$ . Le point $U (2; 7)$ lui appartient-il ?

À retenir

y = m x + p

m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}

est la pente,

p

l’ordonnée à l’origine. Droite de pente

m

passant par

A

y - y_{A} = m (x - x_{A})