Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Equations de droites · Leçon 2

Équation d’une droite de vecteur directeur donné

Un point et une direction suffisent pour trouver l’équation.

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Cours de Mathématiques : « Équation d’une droite de vecteur directeur donné », proposé par ndolomathndolomath

Droite et vecteur directeur

💡 Idée principale : Une droite est entièrement déterminée par un de ses points et un vecteur directeur. La condition de colinéarité donne alors son équation cartésienne.

Ce que tu vas apprendre

Lire un vecteur directeur dans une équation cartésienne.
Déterminer une équation d’une droite connaissant un point et un vecteur directeur.
Déterminer une équation de la parallèle à une droite passant par un point.

Pourquoi cette leçon ?

Un avion décolle d’un point précis selon une direction fixée par la tour de contrôle. Connaître ce point et cette direction suffit pour décrire toute sa trajectoire rectiligne.

Prérequis : vérifie tes bases

Énonce la condition de colinéarité de

\vec{u} (x; y)

\vec{v} (x^{'}; y^{'})

Donne un vecteur directeur de la droite

(A B)

avec

A (0; 1)

B (2; 5)

Que dire de deux droites qui ont des vecteurs directeurs colinéaires ?

Situation problème : Le nouveau tronçon

Une route droite passe par le carrefour $C (2; 1)$ en suivant la direction du vecteur $\vec{u} (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix})$ . La mairie veut construire une seconde route, parallèle à la première, passant par l’école $E (- 1; 4)$ .
Quelles sont les équations de ces deux routes ?

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Activité d’apprentissage

On note $M (x; y)$ un point de la première route.

Exprime les coordonnées de $\vec{C M}$ .
Écris la condition de colinéarité de $\vec{C M}$ et $\vec{u}$ , puis déduis-en une équation de la première route.
Quel vecteur directeur peut-on utiliser pour la seconde route ? Pourquoi ?
Détermine une équation de la seconde route.

Vecteur directeur et équation

• La droite d’équation

a x + b y + c = 0

a pour vecteur directeur

\vec{u} (\begin{matrix} - b \\ a \end{matrix})

.
• Réciproquement, la droite passant par

A (x_{A}; y_{A})

et de vecteur directeur

\vec{u} (\begin{matrix} α \\ β \end{matrix})

a pour équation :

β (x - x_{A}) - α (y - y_{A}) = 0

Exemple à traiter : Donne un vecteur directeur de chacune des droites :

3 x + 2 y - 5 = 0

;

x - 4 y = 0

;

y = 7

R2 · Méthode

1. Prendre

M (x; y)

quelconque.
2. Écrire que

\vec{A M}

\vec{u}

sont colinéaires.
3. Développer et simplifier.

Exemple à traiter : Détermine une équation de la droite passant par

A (- 2; 3)

et de vecteur directeur

\vec{u} (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})

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Parallèle passant par un point

Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires. Pour la parallèle à

(d)

passant par

B

, on utilise un vecteur directeur de

(d)

et le point

B

Exemple à traiter : Détermine une équation de la parallèle à la droite

(d) : 2 x - 5 y + 1 = 0

passant par

B (1; - 1)

Erreurs fréquentes

⚠ Mauvais vecteur directeur

Pour

a x + b y + c = 0

, le vecteur directeur est

(- b; a)

et non

(a; b)

⚠ Oublier de vérifier

On vérifie que le point donné vérifie bien l’équation trouvée.

Exercice d’application

Détermine une équation de la droite passant par $P (0; - 2)$ et de vecteur directeur $\vec{v} (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix})$ .
Détermine une équation de la parallèle à $(A B)$ passant par $C$ , avec $A (1; 1)$ , $B (3; 5)$ et $C (- 2; 0)$ .
Dans la situation problème, le point $F (8; 2)$ est-il sur la seconde route ?

À retenir

a x + b y + c = 0

a pour vecteur directeur

(- b; a)

. Pour une droite donnée par un point

A

et un vecteur

\vec{u}

\vec{A M}

\vec{u}

colinéaires.