Cours
MATHÉMATIQUES · 3e
Chapitre : Equations de droites · Leçon 1

Équation cartésienne d’une droite passant par deux points

Une équation pour décrire tous les points d’une droite.
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Cours de Mathématiques : « Équation cartésienne d’une droite passant par deux points », proposé par ndolomathndolomath
Droite par deux points
💡 Idée principale : Tous les points d’une droite vérifient une même relation entre leurs coordonnées : c’est l’équation cartésienne de la droite, de la forme ax+by+c=0. On l’obtient à partir de deux de ses points grâce à la colinéarité.
Ce que tu vas apprendre
  1. Savoir qu’une droite a une équation de la forme ax+by+c=0.
  2. Déterminer une équation de la droite passant par deux points donnés.
  3. Vérifier si un point appartient à une droite.
  4. Tracer une droite connaissant son équation.
Pourquoi cette leçon ?
Sur une carte, une route rectiligne relie deux villages. Avec une équation de cette route, on peut dire immédiatement si une maison, une école ou un puits se trouve exactement dessus.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Calcule les coordonnées de AB→ pour A(1;2) et B(4;−1).
2
Énonce la condition de colinéarité de deux vecteurs.
3
Le point (2;5) vérifie-t-il 3x−y−1=0 ?
Situation problème : La route entre deux villages

Sur la carte d’un arrondissement, les villages A et B ont pour coordonnées A(−1;3) et B(3;1). Une route rectiligne les relie. Le chef de village se demande si le puits P(5;0) et le marché M(1;1) sont situés sur cette route.
Comment le savoir par le calcul ?

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Activité d’apprentissage

On considère un point M(x;y) quelconque du plan.

  1. Calcule les coordonnées de AB→ et AM→ en fonction de x et y.
  2. Écris la condition pour que ces deux vecteurs soient colinéaires.
  3. Développe et simplifie cette condition pour obtenir une relation de la forme ax+by+c=0.
  4. Utilise cette relation pour répondre au chef de village.
R1
Équation cartésienne
Toute droite du plan a une équation de la forme ax+by+c=0, avec a et b non tous deux nuls. Un point appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation.
Le vecteur u→(−ba) est un vecteur directeur de cette droite.
Exemple à traiter : Les points E(2;1) et F(−1;4) appartiennent-ils à la droite d’équation x+y−3=0 ?
R2 · Droite passant par deux points
Pour trouver une équation de (AB) :
1. on prend M(x;y) un point quelconque ;
2. on écrit que AM→ et AB→ sont colinéaires ;
3. on développe pour obtenir ax+by+c=0.
Exemple à traiter : Détermine une équation de la droite passant par C(2;−1) et D(5;3).
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R3
Tracer une droite
Pour tracer la droite d’équation ax+by+c=0, on cherche deux points : par exemple on choisit x=0 et on calcule y, puis on choisit y=0 et on calcule x.
Cas particuliers : x=k (droite parallèle à l’axe des ordonnées) ; y=k (parallèle à l’axe des abscisses).
Exemple à traiter : Trace les droites d’équations 2x−y+4=0, x=−2 et y=3.
Erreurs fréquentes
⚠ Une seule équation ?
Une droite a une infinité d’équations : 2x−y+1=0 et 4x−2y+2=0 décrivent la même droite.
⚠ Vecteurs mal choisis
On écrit la colinéarité de AM→ et AB→, avec M quelconque.
Exercice d’application
  1. Détermine une équation de la droite (RS) avec R(−3;1) et S(1;−5).
  2. Le point T(3;−8) appartient-il à (RS) ?
  3. Détermine une équation de la droite passant par K(4;2) et L(4;−3). Que remarques-tu ?
À retenir
Une droite a une équation ax+by+c=0. Pour (AB), on écrit que AM→ et AB→ sont colinéaires. Un point est sur la droite si ses coordonnées vérifient l’équation.
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