Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Coordonnées d’un vecteur · Leçon 4

Condition d’orthogonalité de deux vecteurs

Reconnaître un angle droit par le calcul.

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Cours de Mathématiques : « Condition d’orthogonalité de deux vecteurs », proposé par ndolomathndolomath

Condition d’orthogonalité

💡 Idée principale : Dans un repère orthonormé, deux vecteurs sont orthogonaux lorsque

x x^{'} + y y^{'} = 0

. On peut ainsi démontrer qu’un angle est droit ou que deux droites sont perpendiculaires, sans équerre.

Ce que tu vas apprendre

Connaître la condition analytique d’orthogonalité dans un repère orthonormé.
Démontrer que deux droites sont perpendiculaires.
Démontrer qu’un triangle est rectangle ou qu’un quadrilatère est un rectangle.

Pourquoi cette leçon ?

Pour poser les fondations d’une maison, le maçon doit obtenir des angles parfaitement droits. Sur le plan, avec les coordonnées des coins, un simple calcul suffit à vérifier chaque angle.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule les coordonnées de

\vec{A B}

\vec{A C}

pour

A (1; 1)

B (4; 3)

C (- 1; 4)

Énonce la réciproque du théorème de Pythagore.

Calcule

A B^{2}

avec la formule de la distance.

Situation problème : Les fondations de la maison

Sur le plan de sa maison à Ebolowa, Mme Mballa place les coins des fondations en $A (0; 0)$ , $B (6; 3)$ , $C (4; 7)$ et $D (- 2; 4)$ , en mètres. Le chef de chantier dit que le bâtiment sera rectangulaire.
A-t-il raison ? Comment le vérifier avant de creuser ?

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Activité d’apprentissage

On considère $\vec{u} = \vec{A B}$ et $\vec{v} = \vec{A D}$ avec les points de la situation.

Calcule les coordonnées de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , puis $A B^{2}$ , $A D^{2}$ et $B D^{2}$ .
Le triangle $A B D$ est-il rectangle en $A$ ? Justifie.
Calcule $x x^{'} + y y^{'}$ avec les coordonnées de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ . Que remarques-tu ?
Vérifie de même les autres angles du quadrilatère et réponds à Mme Mballa.

Condition d’orthogonalité

Dans un repère orthonormé, les vecteurs

\vec{u} (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

\vec{v} (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

sont orthogonaux si et seulement si :

x x^{'} + y y^{'} = 0

Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Exemple à traiter : Les vecteurs

\vec{u} (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \end{matrix})

\vec{v} (\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix})

sont-ils orthogonaux ? Et

\vec{a} (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})

\vec{b} (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \end{matrix})

R2 · Droites perpendiculaires

Les droites

(A B)

(C D)

sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs

\vec{A B}

\vec{C D}

sont orthogonaux.

Exemple à traiter : On donne

A (1; 2)

B (3; 6)

C (- 2; 1)

D (2; - 1)

. Les droites

(A B)

(C D)

sont-elles perpendiculaires ?

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Triangle rectangle, rectangle

• Le triangle

A B C

est rectangle en

A

si et seulement si

\vec{A B}

\vec{A C}

sont orthogonaux.
• Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.

Exemple à traiter : Le triangle

E F G

avec

E (2; - 1)

F (5; 3)

G (- 2; 2)

est-il rectangle en

E

Erreurs fréquentes

⚠ Confondre les conditions

Colinéarité :

x y^{'} - x^{'} y = 0

. Orthogonalité :

x x^{'} + y y^{'} = 0

⚠ Oublier le repère orthonormé

La condition d’orthogonalité n’est valable que dans un repère orthonormé.

Exercice d’application

Détermine $m$ pour que $\vec{u} (\begin{matrix} m \\ 2 \end{matrix})$ et $\vec{v} (\begin{matrix} 3 \\ - 6 \end{matrix})$ soient orthogonaux.
On donne $A (- 1; 1)$ , $B (3; 3)$ , $C (4; 1)$ . Démontre que le triangle $A B C$ est rectangle et précise en quel sommet.
Dans la situation problème, démontre que $A B C D$ est un parallélogramme, puis conclus sur sa nature.

À retenir

En repère orthonormé :

\vec{u} (x; y) ⊥ \vec{v} (x^{'}; y^{'})

⟺

x x^{'} + y y^{'} = 0

. On l’utilise pour prouver un angle droit ou des droites perpendiculaires.