Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Coordonnées d’un vecteur · Leçon 3

Condition de colinéarité de deux vecteurs

Un calcul croisé pour prouver un alignement ou un parallélisme.

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Cours de Mathématiques : « Condition de colinéarité de deux vecteurs », proposé par ndolomathndolomath

Condition de colinéarité

💡 Idée principale : Deux vecteurs sont colinéaires lorsque leurs coordonnées sont proportionnelles. Cela se traduit par une égalité simple :

x y^{'} - x^{'} y = 0

Ce que tu vas apprendre

Connaître la condition analytique de colinéarité.
Démontrer que trois points sont alignés à l’aide des coordonnées.
Démontrer que deux droites sont parallèles à l’aide des coordonnées.
Déterminer une coordonnée inconnue pour obtenir un alignement.

Pourquoi cette leçon ?

Pour vérifier que trois poteaux électriques sont parfaitement alignés, il suffit de connaître leurs coordonnées sur le plan du chantier : un calcul de deux produits donne la réponse sans erreur d’appréciation.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule les coordonnées de

\vec{A B}

pour

A (- 1; 2)

B (3; - 4)

Les nombres

2

3

8

12

sont-ils proportionnels ?

Rappelle la définition de deux vecteurs colinéaires.

Situation problème : Les poteaux de la SONATREL

Sur le plan d’un chantier, trois poteaux électriques sont placés en $P (- 2; - 1)$ , $Q (1; 1)$ et $R (7; 5)$ . Un quatrième poteau doit être placé en $T (4; y)$ sur la même ligne.
Les trois premiers poteaux sont-ils alignés ? Quelle valeur de $y$ faut-il choisir pour $T$ ?

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Activité d’apprentissage

On utilise les points de la situation problème.

Calcule les coordonnées de $\vec{P Q}$ et $\vec{P R}$ .
Existe-t-il un réel $k$ tel que $\vec{P R} = k \vec{P Q}$ ? Lequel ?
Calcule $x y^{'} - x^{'} y$ avec les coordonnées de ces deux vecteurs. Que trouves-tu ?
Écris la condition sur $y$ pour que $\vec{P Q}$ et $\vec{P T}$ soient colinéaires, puis réponds à la situation.

Condition de colinéarité

Les vecteurs

\vec{u} (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

\vec{v} (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

sont colinéaires si et seulement si :

x y^{'} - x^{'} y = 0

Le nombre

x y^{'} - x^{'} y

est appelé déterminant des deux vecteurs.

Exemple à traiter : Les vecteurs

\vec{u} (\begin{matrix} 6 \\ - 4 \end{matrix})

\vec{v} (\begin{matrix} - 9 \\ 6 \end{matrix})

sont-ils colinéaires ? Et

\vec{a} (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix})

\vec{b} (\begin{matrix} 4 \\ 9 \end{matrix})

R2 · Alignement

Trois points

A

B

C

sont alignés si et seulement si les vecteurs

\vec{A B}

\vec{A C}

sont colinéaires.

Exemple à traiter : Les points

A (1; 3)

B (3; 7)

C (- 2; - 3)

sont-ils alignés ?

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Parallélisme

Les droites

(A B)

(C D)

sont parallèles si et seulement si les vecteurs

\vec{A B}

\vec{C D}

sont colinéaires.

Exemple à traiter : On donne

A (0; 1)

B (4; 3)

C (- 1; - 2)

D (5; 1)

. Les droites

(A B)

(C D)

sont-elles parallèles ?

Erreurs fréquentes

⚠ Se tromper dans le croisement

On calcule

x \times y^{'} - x^{'} \times y

: on multiplie en croix l’abscisse de l’un par l’ordonnée de l’autre.

⚠ Mélanger les vecteurs

Pour l’alignement, les deux vecteurs doivent avoir un point commun.

Exercice d’application

Détermine $m$ pour que les vecteurs $\vec{u} (\begin{matrix} m \\ 3 \end{matrix})$ et $\vec{v} (\begin{matrix} 4 \\ - 6 \end{matrix})$ soient colinéaires.
On donne $E (- 3; 4)$ , $F (1; 2)$ , $G (5; 0)$ . Les points $E$ , $F$ , $G$ sont-ils alignés ?
$A B C D$ est un quadrilatère avec $A (- 2; 0)$ , $B (1; 2)$ , $C (4; 1)$ , $D (- 2; - 3)$ . Démontre que $A B C D$ est un trapèze.

À retenir

\vec{u} (x; y)

\vec{v} (x^{'}; y^{'})

colinéaires ⟺

x y^{'} - x^{'} y = 0

. Cette condition prouve un alignement (vecteurs avec un point commun) ou un parallélisme.