Cours
MATHÉMATIQUES · 3e
Chapitre : Coordonnées d’un vecteur · Leçon 2

Distance de deux points

Le théorème de Pythagore dans un repère orthonormé.
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Cours de Mathématiques : « Distance de deux points », proposé par ndolomathndolomath
Distance de deux points
💡 Idée principale : Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points se calcule avec leurs coordonnées grâce au théorème de Pythagore : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2.
Ce que tu vas apprendre
  1. Calculer la norme d’un vecteur dans un repère orthonormé.
  2. Calculer la distance entre deux points.
  3. Déterminer la nature d’un triangle à partir des coordonnées de ses sommets.
  4. Vérifier qu’un point appartient à un cercle.
Pourquoi cette leçon ?
Un GPS calcule à chaque instant la distance entre ta position et ta destination à partir de coordonnées. Le même calcul, basé sur Pythagore, permet de mesurer une longueur sur un plan sans règle.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Énonce le théorème de Pythagore et sa réciproque.
2
Calcule les coordonnées de AB→ pour A(1;−2) et B(4;2).
3
Calcule 9+16 et 50 (forme simplifiée).
Situation problème : Le forage du village

Sur la carte d’un village du Nord, en unités de 100 m, l’école est en E(−2;1), le centre de santé en S(4;3) et le marché en M(1;−3). On veut creuser un forage en F(1;2).
Le forage est-il à égale distance de l’école et du centre de santé ? Quelle est la distance, en mètres, entre l’école et le marché ?

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Activité d’apprentissage

Dans un repère orthonormé, on donne A(1;−2) et B(4;2). On place H(4;−2).

  1. Quelle est la nature du triangle AHB ? Justifie.
  2. Calcule AH et HB à l’aide des coordonnées.
  3. Déduis-en AB avec le théorème de Pythagore.
  4. Exprime AB en fonction de xB−xA et yB−yA, puis réponds aux questions de la situation problème.
R1
Norme d’un vecteur
Dans un repère orthonormé, si u→(xy), la norme (longueur) de u→ est : ‖u→‖=x2+y2
Exemple à traiter : Calcule la norme des vecteurs u→(3−4), v→(−12) et w→(66).
R2 · Distance de deux points
Dans un repère orthonormé : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2
Exemple à traiter : Calcule CD avec C(−3;5) et D(2;−7), puis EF avec E(0;−1) et F(3;2).
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R3
Nature d’un triangle
On calcule les trois longueurs (ou leurs carrés) :
• deux longueurs égales : triangle isocèle ; trois : équilatéral ;
• si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres : triangle rectangle (réciproque de Pythagore).
Exemple à traiter : On donne A(−1;2), B(3;4), C(1;−2). Calcule AB2, BC2 et AC2, puis donne la nature du triangle ABC.
R4
Point d’un cercle
Un point M appartient au cercle de centre Ω et de rayon r si et seulement si ΩM=r.
Exemple à traiter : Le point P(4;1) appartient-il au cercle de centre Ω(1;−3) et de rayon 5 ?
Erreurs fréquentes
⚠ Repère non orthonormé
La formule de la distance ne s’applique que dans un repère orthonormé.
⚠ Racine d’une somme
32+42=5 et non 3+4.
Exercice d’application
  1. On donne A(2;3), B(−2;0), C(5;−1). Calcule AB, AC et BC. Quelle est la nature du triangle ABC ?
  2. Calcule le rayon du cercle de centre Ω(−1;1) passant par T(2;5). Le point U(3;−2) est-il sur ce cercle ?
  3. Dans la situation problème, calcule FE et FS et conclus.
À retenir
En repère orthonormé : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2. Pour la nature d’un triangle, on compare les carrés des longueurs.
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Préparation du PDF…