Cours
MATHÉMATIQUES · 3e
Chapitre : Coordonnées d’un vecteur · Leçon 1

Coordonnées d’un vecteur

Deux nombres pour décrire un déplacement dans un repère.
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Cours de Mathématiques : « Coordonnées d’un vecteur », proposé par ndolomathndolomath
Coordonnées d’un vecteur
💡 Idée principale : Dans un repère, un vecteur AB→ est décrit par deux nombres : le déplacement horizontal et le déplacement vertical pour aller de A à B. Ces coordonnées se calculent par différence : arrivée moins départ.
Ce que tu vas apprendre
  1. Lire les coordonnées d’un vecteur dans un repère.
  2. Calculer les coordonnées de AB→ à partir de celles de A et B.
  3. Calculer les coordonnées de u→+v→ et de ku→.
  4. Calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
Pourquoi cette leçon ?
Un livreur de Douala décrit un trajet par « 3 rues vers l’est, 2 rues vers le nord ». Dans un repère, c’est exactement ce que donnent les coordonnées d’un vecteur : on peut alors calculer des positions et des déplacements sans dessiner.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Place dans un repère les points A(2;1), B(−1;3) et C(0;−2).
2
Calcule : 5−(−2) ; −3−4 ; −1+52.
3
Rappelle la définition de vecteurs égaux.
Situation problème : Le livreur de colis

Dans le plan de la ville, un livreur part de l’agence A(1;2) et va en B(5;4), puis repart de C(−2;−1) en faisant exactement le même déplacement pour arriver en D.
Quelles sont les coordonnées de D ? Où se trouve le point situé à mi-chemin entre A et B ?

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Activité d’apprentissage

Dans un repère orthonormé (O;I;J), on donne A(1;2), B(5;4) et C(−2;−1).

  1. Place les points. Pour aller de A à B, de combien d’unités se déplace-t-on horizontalement ? verticalement ?
  2. Compare ces nombres avec xB−xA et yB−yA.
  3. Construis D tel que CD→=AB→. Lis ses coordonnées et vérifie par le calcul.
  4. Lis les coordonnées du milieu M de [AB] et compare-les avec xA+xB2 et yA+yB2.
R1
Coordonnées de AB→
Dans un repère, si A(xA;yA) et B(xB;yB), alors : AB→(xB−xAyB−yA) Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coordonnées.
Exemple à traiter : On donne E(−3;2), F(1;−4), G(0;5). Calcule les coordonnées de EF→, FG→ et GE→.
R2 · Opérations
Si u→(xy) et v→(x′y′), alors : u→+v→(x+x′y+y′)ku→(kxky)
Exemple à traiter : Avec u→(2−1) et v→(−34), calcule les coordonnées de u→+v→, 3u→ et 2u→−v→.
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R3
Milieu d’un segment
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées : I(xA+xB2;yA+yB2)
Exemple à traiter : Calcule les coordonnées du milieu de [PQ] avec P(−4;7) et Q(2;−1).
R4
Parallélogramme
ABDC est un parallélogramme si et seulement si AB→=CD→, c’est-à-dire si les vecteurs ont les mêmes coordonnées.
Exemple à traiter : On donne A(1;1), B(4;2), C(2;5). Calcule les coordonnées de D tel que ABDC soit un parallélogramme.
Erreurs fréquentes
⚠ Inverser l’ordre
On calcule toujours « arrivée moins départ » : xB−xA pour AB→.
⚠ Oublier un signe
xB−xA avec xA=−3 donne xB+3.
Exercice d’application
  1. On donne A(2;−3), B(−1;4), C(5;0). Calcule les coordonnées de AB→, AC→ et AB→+AC→.
  2. Détermine les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
  3. Calcule les coordonnées du centre de ce parallélogramme de deux façons différentes.
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À retenir
AB→ a pour coordonnées (xB−xA;yB−yA). On additionne les coordonnées pour une somme, on les multiplie par k pour ku→. Milieu : moyenne des coordonnées.
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Préparation du PDF…