Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Calcul littéral · Leçon 5

Factorisation d’une expression littérale

Transformer une somme en produit pour simplifier et résoudre.

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Cours de Mathématiques : « Factorisation d’une expression littérale », proposé par ndolomathndolomath

Factorisation

💡 Idée principale : Factoriser, c’est faire le chemin inverse du développement : transformer une somme en produit. On utilise un facteur commun ou une identité remarquable lue de droite à gauche.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une expression factorisée.
Factoriser à l’aide d’un facteur commun.
Factoriser à l’aide d’une identité remarquable.
Combiner les deux méthodes pour obtenir des facteurs du premier degré.

Pourquoi cette leçon ?

Une expression factorisée se calcule souvent plus vite et permet de comparer facilement deux formules. Elle sera indispensable pour simplifier des fractions rationnelles et pour résoudre des équations comme

(x - 2) (x + 5) = 0

Prérequis : vérifie tes bases

Développe :

3 (x + 5)

;

x (2 x + 1)

Complète les identités :

(a + b)^{2} = \dots

;

(a - b)^{2} = \dots

;

(a - b) (a + b) = \dots

Écris comme un carré :

25

;

4 x^{2}

;

9 x^{2}

;

121

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Situation problème : Le terrain de François

François possède à Ebolowa un terrain carré de côté $(2 x + 3)$ mètres. Il garde une bande rectangulaire de $(2 x + 3)$ m sur $(x + 1)$ m pour sa maison et vend le reste.
François écrit l’aire vendue : $A = 4 x^{2} + 12 x + 9 - (2 x + 3) (x + 1)$ . L’acheteur écrit $A = (2 x + 3) (x + 2)$ et le notaire $A = 2 x^{2} + 7 x + 6$ .
Qui a raison ? Pour $x = 10$ , quel est le prix de la partie vendue, à 5 000 F le m² ?

Activité d’apprentissage

On cherche à passer d’une somme à un produit.

On sait que $3 (x + 5) = 3 x + 15$ . Comment passer de $3 x + 15$ à $3 (x + 5)$ ? Quel nombre est présent dans les deux termes $3 x$ et $15$ ?
Un carré de côté $x$ (avec $x > 3$ ) est privé, dans un coin, d’un petit carré de côté 3. a) Exprime l’aire restante en fonction de $x$ . b) Développe $(x - 3) (x + 3)$ . c) Déduis-en une écriture de $x^{2} - 9$ sous forme de produit.
Développe $(2 x + 3)^{2}$ . Déduis-en une écriture de $4 x^{2} + 12 x + 9$ sous forme de produit.
Dans l’expression de François, fais apparaître le facteur $(2 x + 3)$ dans chacun des deux termes, puis écris $A$ sous forme de produit. Réponds aux questions de la situation problème.

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Factoriser

Factoriser une expression, c’est l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs. C’est l’opération inverse du développement :

développer : k (a + b) \to k a + k b factoriser : k a + k b \to k (a + b)

Une expression est factorisée lorsque la dernière opération à effectuer est une multiplication.

Exemple à traiter : Parmi ces expressions, lesquelles sont factorisées ?

3 (x + 1)

;

3 x + 1

;

(x - 2) (x + 5)

;

x (x + 1) + 2

;

(x + 4)^{2}

R2 · Facteur commun

Si un même facteur

k

apparaît dans chaque terme :

k a + k b = k (a + b) k a - k b = k (a - b)

Méthode : 1. repérer le facteur commun (nombre, lettre ou parenthèse) ; 2. le placer devant un crochet ; 3. écrire dans le crochet ce qui reste de chaque terme, en respectant les signes ; 4. réduire le crochet.

Exemple à traiter : Factorise :

A = 4 x + 8

;

B = 2 x^{2} + x

;

C = (x + 5) (- x + 2) - (x + 3) (x + 5)

Identités remarquables

On lit les identités remarquables de droite à gauche :

a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}

a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Méthode : repérer les deux carrés

a^{2}

b^{2}

, puis, pour les deux premières, vérifier que le troisième terme est bien le double produit

2 a b

Exemple à traiter : Factorise :

A = x^{2} + 4 x + 4

;

B = x^{2} - 6 x + 9

;

C = x^{2} - 121

;

D = (x - 1)^{2} - 25

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Combiner les deux méthodes

Parfois, le facteur commun n’apparaît qu’après avoir factorisé une partie de l’expression avec une identité remarquable.
Méthode : 1. factoriser la partie qui est une identité remarquable ; 2. repérer le facteur commun ainsi apparu ; 3. le mettre en facteur et réduire le crochet.
On s’arrête quand chaque facteur est du premier degré ou un nombre.

Exemple à traiter : Factorise :

A = x^{2} + 10 x + 25 - (x + 5) (2 x - 3)

;

B = 4 x^{2} - 9 + (2 x + 3)^{2}

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier le 1

Quand on met en facteur un terme entier, il reste 1 (et non 0) à sa place dans le crochet.

⚠ Mal gérer les signes

Devant un − , on garde la parenthèse dans le crochet avant de supprimer quoi que ce soit.

Exercice d’application

Factorise $A = (x + 2) (3 x - 1) + (x + 2) (x + 5)$ .
Factorise $B = 9 x^{2} - 30 x + 25$ .
Factorise $C = (2 x + 1)^{2} - (x - 3)^{2}$ .
Factorise $D = x^{2} - 4 + (x + 2) (3 x - 1)$ .

À retenir

Factoriser, c’est passer d’une somme à un produit. On cherche d’abord un facteur commun ; sinon, on reconnaît une identité remarquable. On vérifie toujours en développant ou en testant une valeur de

x