Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Calcul littéral · Leçon 4

Développement et réduction d’une expression littérale

Supprimer les parenthèses pour comparer, simplifier et démontrer.

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Cours de Mathématiques : « Développement et réduction d’une expression littérale », proposé par ndolomathndolomath

Développement et réduction

💡 Idée principale : Développer, c’est transformer un produit en somme. Avec la distributivité et les identités remarquables, on supprime les parenthèses, puis on réduit et on ordonne le résultat.

Ce que tu vas apprendre

Appliquer la règle de suppression des parenthèses.
Développer avec la distributivité simple et double.
Connaître et utiliser les identités remarquables.
Développer, réduire et ordonner un produit de polynômes.

Pourquoi cette leçon ?

Une expression avec des parenthèses, comme

(4 x + 8)^{2}

, cache souvent ce qu’elle contient. En la développant, on peut la comparer à une autre, la simplifier, la calculer de tête ou démontrer une propriété vraie pour toutes les valeurs de

x

Prérequis : vérifie tes bases

Réduis et ordonne :

3 x + 5 - x + 2 x^{2} + 2

Calcule :

(- 3) \times (- 2 x)

;

4 x \times 5 x

;

(3 x)^{2}

Énonce le théorème de Pythagore et sa réciproque.

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Situation problème : La table d’Alain

Alain, menuisier à Bafoussam, veut fabriquer une table triangulaire $A B C$ . Sans mètre ruban, il mesure avec un lacet de longueur inconnue $x$ et trouve, en centimètres : $A B = 4 x + 8; B C = 3 x + 6; A C = 5 x + 10$ Son fils affirme : « Quelle que soit la longueur du lacet, le triangle $A B C$ est rectangle. » A-t-il raison ?

Activité d’apprentissage

On considère un grand rectangle de côtés $(x + 3)$ et $(x + 2)$ , découpé en quatre petits rectangles.

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Activité : à toi de chercher

Calcule l’aire du grand rectangle de deux façons : comme produit de ses côtés, puis comme somme des aires des quatre petits rectangles. Déduis-en une égalité.
En t’inspirant de la question 1, écris sans parenthèses $(a + b) (c + d)$ , puis $(a + b)^{2} = (a + b) (a + b)$ .
De même, écris sans parenthèses $(a - b)^{2}$ et $(a - b) (a + b)$ .
Utilise ces résultats pour calculer $A C^{2}$ et $A B^{2} + B C^{2}$ dans la situation problème. Conclus.

Supprimer des parenthèses

• Parenthèse précédée de + : on supprime les parenthèses sans changer les signes :

+ (a - b + c) = a - b + c

.
• Parenthèse précédée de − : on supprime les parenthèses en changeant tous les signes :

- (a - b + c) = - a + b - c

Exemple à traiter : Supprime les parenthèses, puis réduis :

A = (3 x + 2) - (2 x^{2} - x + 1)

;

B = 5 - (- x + 4) + (2 x - 7)

R2 · Distributivité simple

Développer, c’est transformer un produit en somme. Pour tous nombres

k

a

b

k (a + b) = k a + k b k (a - b) = k a - k b

On multiplie

k

par chaque terme de la parenthèse, en respectant les signes.

Exemple à traiter : Développe :

A = 3 (x - 2)

;

B = - 2 x (3 x - 5)

;

C = 2 x (x + 1)

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Distributivité double

Pour tous nombres

a

b

c

d

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : on obtient 4 produits, que l’on réduit ensuite.

Exemple à traiter : Développe et réduis :

A = (x + 1) (x - 2)

;

B = (\frac{1}{2} x + 3) (2 x + 4)

Les identités remarquables

Pour tous nombres

a

b

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Attention :

(a + b)^{2}

n’est pas égal à

a^{2} + b^{2}

; il ne faut pas oublier le double produit

2 a b

Exemple à traiter : Développe :

A = (2 x + 3)^{2}

;

B = (x - 5)^{2}

;

C = (4 x - 3) (4 x + 3)

. Calcule ensuite de tête

102^{2}

99 \times 101

R5 · Développer, réduire et ordonner

1. Développer chaque produit, en gardant le résultat entre parenthèses s’il est précédé d’un signe −.
2. Supprimer les parenthèses.
3. Réduire en regroupant les monômes semblables.
4. Ordonner suivant les puissances décroissantes ou croissantes.

Exemple à traiter : Développe, réduis et ordonne

E = (3 x - 1) (2 x + 5) - 2 (x^{2} - 3)

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Erreurs fréquentes

⚠ Oublier le double produit

(x + 3)^{2}

ne vaut pas

x^{2} + 9

: il manque le terme

2 \times x \times 3

⚠ Oublier de changer les signes

Devant un signe −, tous les termes de la parenthèse changent de signe, pas seulement le premier.

Exercice d’application

Soit $P (x) = (x - 1)^{2} + (x - 1) (x + 2)$ . a) Développe, réduis et ordonne $P (x)$ . b) Donne son degré. c) Calcule $P (2)$ de deux façons.
Développe, réduis et ordonne $Q (x) = (2 x + 3)^{2} - (x - 4) (x + 4)$ .
Développe $- (x + 1) (x - 2)$ .

À retenir

Développer, c’est passer d’un produit à une somme. Distributivité : chaque terme multiplie chaque terme. Identités remarquables : ne jamais oublier le double produit. On termine toujours en réduisant et en ordonnant.