Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Calcul littéral · Leçon 3

Fractions rationnelles

Savoir quand une fraction a un sens et la rendre plus simple.

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Cours de Mathématiques : « Fractions rationnelles », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes. Elle n’existe que si son dénominateur n’est pas nul, et on la simplifie en factorisant puis en supprimant les facteurs communs.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une fraction rationnelle.
Trouver sa condition d’existence.
Simplifier une fraction rationnelle.
Calculer une valeur numérique avec la forme simplifiée.

Pourquoi cette leçon ?

Pour trouver une longueur à partir d’une aire, partager une somme entre plusieurs personnes ou calculer une vitesse, on divise une expression par une autre. On obtient une fraction rationnelle. Pour l’utiliser sans erreur, il faut savoir quand elle a un sens et la simplifier.

Prérequis : vérifie tes bases

Simplifie les fractions

\frac{12}{18}

\frac{35}{21}

. Quelle propriété utilises-tu ?

Complète :

a \times b = 0

équivaut à … ;

a \times b \neq 0

équivaut à …

Factorise :

x^{2} - 25

;

3 x + 6

;

x^{2} - 6 x + 9

Situation problème : Le terrain de Kribi

Avant la naissance de Yannick, son oncle avait acheté à Kribi un terrain carré de côté $x$ mètres. Plus tard, il en a offert 25 m² à son voisin. Aujourd’hui, le terrain restant a été réaménagé en un rectangle de même aire, dont la largeur mesure $(x - 5)$ mètres.
Yannick cherche une expression simple de la longueur de ce rectangle, puis sa valeur pour $x = 30$ m.

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Activité d’apprentissage

On donne $f (x) = 2 x (x - 3) - (x - 3) (x + 2)$ et $g (x) = x^{2} - 9$ , puis on pose $K (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ .

Écris $K (x)$ .
Détermine les valeurs de $x$ qui annulent le dénominateur.
Peut-on calculer $K (3)$ ? $K (- 3)$ ? Calcule $K (0)$ .
À quelle condition sur $x$ peut-on calculer la valeur numérique de $K$ ?
Factorise le numérateur $f (x)$ et le dénominateur $g (x)$ .
Repère le facteur commun, puis écris $K (x)$ sans ce facteur. Vérifie avec $x = 0$ .
Aide Yannick à répondre à ses questions.

Fraction rationnelle

Une fraction rationnelle est un quotient

\frac{P}{Q}

dont le numérateur

P

et le dénominateur

Q

sont des polynômes,

Q

n’étant pas le polynôme nul.

Exemple à traiter : Parmi ces expressions, lesquelles sont des fractions rationnelles ?

R = \frac{x^{2} - 2 x + 3}{(1 - x) (2 + x)}

;

S = \frac{a + 1}{a}

;

T = 3 x^{2} - 1

;

U = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}

R2 · Condition d’existence

La valeur numérique de

\frac{P}{Q}

existe si et seulement si $Q \neq 0$ .
Méthode : 1. factoriser le dénominateur si possible ; 2. utiliser

a \times b \neq 0 ⟺ a \neq 0

b \neq 0

; 3. écrire les valeurs interdites.

Exemple à traiter : Donne la condition d’existence de :

A = \frac{x^{2} - x + 2}{3 x - 1}

;

B = \frac{x + 1}{x^{2} - 4}

;

C = \frac{5}{x (2 x + 6)}

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Simplifier une fraction rationnelle

1. Factoriser le numérateur et le dénominateur.
2. Écrire la condition d’existence, avec le dénominateur avant simplification.
3. Supprimer les facteurs communs.
4. Écrire la forme simplifiée, précédée de la condition d’existence.
On ne simplifie que des facteurs, jamais des termes :

\frac{x + 2}{x + 5}

ne se simplifie pas.

Exemple à traiter : Simplifie

E = \frac{x^{2} - 25}{2 x + 10}

, puis

B = \frac{x^{2} - 6 x + 9}{(x - 3) (x + 2) - 2 (x - 3) (x - 1)}

Valeur numérique

Avant de calculer, on vérifie que la valeur de

x

est autorisée, puis on utilise de préférence la forme simplifiée, plus rapide.
Une valeur interdite reste interdite, même si la forme simplifiée semble donner un résultat.

Exemple à traiter : On reprend

K (x) = \frac{x - 2}{x + 3}

pour

x \neq 3

x \neq - 3

. Calcule, si c’est possible,

K (2)

K (- 1)

K (3)

Erreurs fréquentes

⚠ Simplifier des termes

Dans

\frac{x + 2}{x + 5}

, on ne « barre » pas les

x

: seuls les facteurs se simplifient.

⚠ Oublier une valeur interdite

La condition d’existence se lit sur le dénominateur de départ, avant toute simplification.

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Exercice d’application

On pose $P (x) = (2 x + 3) (2 x + 7) + 4 x^{2} - 9$ et $Q (x) = 4 x^{2} - 9$ . Développe, réduis et ordonne $P (x)$ . Donne son degré.
Factorise $Q (x)$ , puis déduis-en une factorisation de $P (x)$ .
On pose $R (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$ . Donne la condition d’existence de $R (x)$ .
Simplifie $R (x)$ .
Calcule $R (0)$ et $R (\sqrt{3})$ , en écrivant le résultat sans radical au dénominateur.

À retenir

Une fraction rationnelle n’existe que si son dénominateur est non nul. Pour la simplifier : factoriser, écrire la condition d’existence, puis supprimer les facteurs communs.