Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Calcul littéral · Leçon 2

Monômes et polynômes

Reconnaître les briques d’une expression pour la simplifier et la ranger.

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Cours de Mathématiques : « Monômes et polynômes », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : Un polynôme est une somme de monômes, ces petites « briques » de la forme

a x^{n}

. On regroupe les monômes semblables pour réduire, puis on range les termes selon les puissances de

x

Ce que tu vas apprendre

Définir un monôme, son coefficient et son degré.
Additionner des monômes semblables et multiplier des monômes.
Définir un polynôme et trouver son degré.
Réduire et ordonner un polynôme.

Pourquoi cette leçon ?

Deux personnes peuvent écrire la même formule de façons très différentes. Pour comparer des expressions, les simplifier et les calculer vite, il faut savoir reconnaître leurs briques, regrouper celles qui se ressemblent et ranger le résultat dans un ordre commun.

Prérequis : vérifie tes bases

Écris sous la forme d’une seule puissance :

x^{2} \times x^{3}

;

x \times x^{4}

Calcule :

(- 2)^{3}

;

(- 1)^{4}

;

5^{0}

Réduis :

3 a + 5 a

;

7 b - 9 b

Situation problème : Le champ de M. Fouda

M. Fouda partage son champ de manioc en quatre parcelles pour ses enfants. Il leur demande d’écrire l’aire totale du champ, en m², en fonction de la longueur $x$ .
Ali écrit : $6 + 3 x + x^{2} + 2 x$ . Mireille écrit : $x^{2} + 5 x + 6$ .
Chacun affirme avoir raison. Qui a raison ? Quelle est l’aire du champ si $x = 20$ m ?

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Activité d’apprentissage

Le champ est un rectangle de côtés $(x + 3)$ et $(x + 2)$ , partagé en quatre parcelles $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ , $P_{4}$ . Les longueurs sont en mètres.

Activité : à toi de chercher

Exprime en fonction de $x$ les aires des parcelles $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ et $P_{4}$ .
Chaque aire est de la forme « un nombre $\times$ une puissance de $x$ ». Pour chacune, donne ce nombre (le coefficient) et l’exposant de $x$ (le degré).
Quelles parcelles ont des aires de même forme ? Additionne leurs aires.
Écris l’aire totale $S$ avec le moins de termes possible, en commençant par la plus grande puissance de $x$ .
Réponds aux questions de la situation problème.

Monôme

Un monôme de variable

x

est une expression de la forme

a x^{n}

, où

a

est un réel appelé coefficient et

n

un entier naturel appelé degré.
• Un nombre

a \neq 0

est un monôme de degré 0, car

x^{0} = 1

.
• Le monôme 0 est le monôme nul : il n’a pas de degré.
•

\frac{2}{x}

\sqrt{x}

x + 1

ne sont pas des monômes.

Exemple à traiter : Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont des monômes ? Donne alors leur coefficient et leur degré :

- 5 x^{3}

;

8

;

\frac{x}{2}

;

\frac{3}{x}

;

- x^{4}

;

2 x + 1

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R2 · Monômes semblables et somme

Deux monômes de même variable sont semblables lorsqu’ils ont le même degré.
• Pour additionner des monômes semblables, on additionne les coefficients et on garde la puissance :

a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n}

.
• La somme de monômes non semblables ne se simplifie pas :

3 x^{2} + 5 x

reste

3 x^{2} + 5 x

Exemple à traiter : Réduis, si c’est possible :

A = 4 x^{2} - 7 x^{2} + x^{2}

;

B = 3 x + 2 x^{2}

;

C = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x^{3}

Produit de monômes

Pour multiplier des monômes, on multiplie les coefficients entre eux et on additionne les exposants :

a x^{n} \times b x^{p} = (a \times b) x^{n + p}

Le degré du produit est la somme des degrés.

Exemple à traiter : Calcule :

A = (- 3 x^{2}) \times (4 x^{5})

;

B = (2 x)^{3}

;

C = (- 2 x^{2}) \times (3 x) \times (\frac{1}{2} x^{3})

Polynôme et degré

Un polynôme de variable

x

est une somme algébrique de monômes de variable

x

; chaque monôme est un terme.
Le degré d’un polynôme réduit est le plus grand des degrés de ses monômes. La variable peut être n’importe quelle lettre :

x

t

y

…

Exemple à traiter : Donne les termes et le degré de

P = - 6 t^{2} + t + 3

et de

Q = 5 x - 2 x^{4} + 1

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R5 · Réduire un polynôme

Réduire un polynôme, c’est l’écrire avec le moins de termes possible : on regroupe les monômes semblables et on les additionne.
Astuce : souligner de la même façon les monômes de même degré pour n’en oublier aucun.

Exemple à traiter : Réduis

P = 3 x^{2} - 5 x + 7 - x^{2} + 8 x - 10

Ordonner un polynôme

Ordonner un polynôme réduit, c’est ranger ses termes suivant les puissances décroissantes de

x

(du plus grand degré au plus petit) ou suivant les puissances croissantes. Chaque terme garde son signe en changeant de place.

Exemple à traiter : Ordonne

Q = 4 - x^{3} + 2 x + 5 x^{2}

suivant les puissances décroissantes, puis croissantes de

x

Erreurs fréquentes

⚠ Additionner des monômes non semblables

3 x^{2} + 5 x

ne donne pas

8 x^{3}

: seuls les monômes de même degré se regroupent.

⚠ Multiplier les exposants

Dans un produit, les exposants s’additionnent :

x^{2} \times x^{3}

n’est pas

x^{6}

Exercice d’application

Soit $P (x) = 2 x^{3} - 4 x + 5 x^{2} - 3 + x - 2 x^{3} + 7$ . Relève les monômes semblables de $P (x)$ .
Réduis $P (x)$ , puis ordonne-le suivant les puissances décroissantes de $x$ .
Donne le degré de $P (x)$ , puis calcule $P (- 1)$ .
Calcule le produit $M = (- 2 x^{2}) \times (3 x) \times (\frac{1}{2} x^{3})$ et donne son degré.

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À retenir

Monômes semblables : même degré, on additionne les coefficients. Produit de monômes : on multiplie les coefficients et on additionne les exposants. Un polynôme bien écrit est réduit et ordonné.