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MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Calcul littéral · Leçon 1

Valeur numérique d’une expression littérale

Une seule formule avec des lettres pour calculer dans toutes les situations.

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Cours de Mathématiques : « Valeur numérique d’une expression littérale », proposé par ndolomathndolomath

Expression littérale

💡 Idée principale : Une expression littérale est une formule où des lettres remplacent des nombres. En remplaçant ces lettres par des valeurs et en respectant les priorités de calcul, on obtient sa valeur numérique.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une expression littérale et ses variables.
Traduire une situation ou une phrase par une expression littérale.
Calculer une valeur numérique en respectant les priorités.
Trouver la condition d’existence d’une fraction rationnelle.

Pourquoi cette leçon ?

Le prix d’une course de moto-taxi selon la distance, la facture d’eau selon les mètres cubes consommés, l’aire d’un terrain selon ses dimensions : toutes ces situations se calculent avec une formule écrite avec des lettres. Une seule formule suffit alors pour n’importe quelle valeur.

Prérequis : vérifie tes bases

Rappelle la formule de l’aire d’un carré de côté

c

, d’un rectangle de dimensions

L

l

, d’un triangle de base

b

et de hauteur

h

, d’un trapèze de bases

B

b

et de hauteur

h

Calcule :

3 + 4 \times 5

;

(3 + 4) \times 5

;

(- 2)^{2}

;

- 2^{2}

Peut-on calculer

\frac{7}{0}

? Pourquoi ?

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Situation problème : M. Noah carrelle sa douche

M. Noah veut carreler la douche de sa maison. Elle a la forme d’un trapèze : la petite base mesure $x$ mètres, la grande base dépasse la petite de 4 m et la hauteur mesure aussi $x$ mètres. Le carreleur demande 6 500 F par mètre carré, fourniture et pose comprises.
Son maçon hésite encore entre $x = 2$ et $x = 3$ . M. Noah voudrait une formule qui donne directement la surface à carreler, puis savoir combien il paiera si $x = 3$ .

Activité d’apprentissage

La figure est formée d’un carré $A B C D$ et d’un triangle $B C F$ rectangle en $C$ . On pose $A B = A D = x$ (en mètres) et $C F = 4$ m.

Activité : à toi de chercher

Exprime en fonction de $x$ l’aire $A_{1}$ du carré $A B C D$ et l’aire $A_{2}$ du triangle $B C F$ .
Déduis-en l’aire totale $A_{T} = A_{1} + A_{2}$ . Comment appelle-t-on ces écritures qui contiennent la lettre $x$ ?
Calcule $A_{T}$ pour $x = 2$ , puis pour $x = 3$ .
Quelle est la nature du quadrilatère $A B F D$ ? Donne ses bases et sa hauteur en fonction de $x$ , puis vérifie avec la formule de l’aire du trapèze.
Réponds aux questions de M. Noah.

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Expression littérale

Une expression littérale est une expression qui contient une ou plusieurs lettres, et souvent des nombres. Ces lettres, appelées variables, représentent des nombres.

x^{2} + 2 x

est une expression littérale de variable

x

;

2 x + 7 y - 5

a deux variables,

x

y

Exemple à traiter : Traduis par une expression littérale : a) le double d’un nombre

x

, augmenté de 5 ; b) le carré de la somme de

a

b

; c) la somme des carrés de

a

b

; d) le prix d’une course de moto-taxi : 150 F au départ, plus 50 F par kilomètre, pour

x

km.

R2 · Conventions d’écriture

Pour alléger l’écriture :
• on peut supprimer le signe

\times

devant une lettre ou une parenthèse :

3 \times x = 3 x

;

2 \times (x + 1) = 2 (x + 1)

;
•

x \times x = x^{2}

;

x \times x \times x = x^{3}

;

1 \times x = x

;
• on ne supprime jamais le signe

\times

entre deux nombres :

3 \times 5

ne s’écrit pas 35.

Exemple à traiter : Écris le plus simplement possible :

A = 5 \times a \times b

;

B = 2 \times x \times x \times 3

;

C = y \times 1 \times y \times y

Valeur numérique et priorités

La valeur numérique d’une expression littérale est le nombre obtenu en remplaçant chaque variable par une valeur donnée.
Ordre des calculs : 1. parenthèses ; 2. puissances ; 3. multiplications et divisions ; 4. additions et soustractions.
Un nombre négatif se remplace toujours entre parenthèses.

Exemple à traiter : Calcule

A = 3 x^{2} - 2 x + 3

pour

x = - 2

, puis

B = 2 x + 7 y - 5

pour

x = 25

y = 9

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Condition d’existence

Une fraction rationnelle est un quotient de deux expressions littérales, par exemple

\frac{x + 1}{x - 3}

.
Comme on ne divise jamais par 0, sa valeur numérique existe si et seulement si le dénominateur n’est pas nul. On cherche donc les valeurs qui annulent le dénominateur, puis on les exclut.

Exemple à traiter : Soit

F = \frac{x + 5}{2 x - 4}

. Pour quelles valeurs de

x

la valeur numérique de

F

existe-t-elle ? Calcule

F

pour

x = 0

. Peut-on calculer

F

pour

x = 2

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier les parenthèses

Pour

x = - 2

, on écrit

3 \times (- 2)^{2}

et jamais

3 \times - 2^{2}

⚠ Calculer de gauche à droite

Les puissances passent avant les multiplications, qui passent avant les additions.

Exercice d’application

On donne $A = 3 x^{2} - 2 x + 3$ ; $B = 5 x^{4} + 4 x^{3} - 7 x^{2} - 2$ ; $C = 7 y^{2} - 3 y + 4$ . Calcule $A$ et $B$ pour $x = 2$ , et $C$ pour $y = - 5$ .
Soit $D = \frac{x + 1}{x - 2}$ . Donne la condition d’existence de sa valeur numérique, puis calcule $D$ pour $x = - 1$ .
À Yaoundé, une moto-taxi demande 150 F au départ, plus 50 F par kilomètre. a) Écris le prix $P$ d’une course de $x$ km. b) Combien coûte une course de 6 km ? c) Avec 700 F, Paul peut-il faire 12 km ?

À retenir

Une lettre remplace un nombre : on la remplace par sa valeur, entre parenthèses si elle est négative, puis on respecte les priorités. Une fraction n’a de valeur que si son dénominateur est différent de 0.