Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Arithmétique · Leçon 3

Relation entre le PPCM et le PGCD

Un produit qui relie le plus petit multiple et le plus grand diviseur.

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Cours de Mathématiques : « Relation entre le PPCM et le PGCD », proposé par ndolomathndolomath

PPCM et PGCD

💡 Idée principale : Le PPCM de deux entiers est le plus petit multiple non nul qu’ils ont en commun. Il est relié au PGCD par une formule simple : leur produit est égal au produit des deux nombres.

Ce que tu vas apprendre

Rappeler la définition du PPCM de deux entiers naturels.
Connaître la relation $PGCD (a; b) \times PPCM (a; b) = a \times b$ .
Calculer un PPCM à partir du PGCD.
Résoudre des problèmes de rencontre ou de synchronisation.

Pourquoi cette leçon ?

Deux bus qui partent ensemble, deux phares qui clignotent, deux engrenages qui tournent : quand se retrouveront-ils de nouveau dans la même position ? La réponse est un PPCM, et le PGCD permet de le calculer très vite.

Prérequis : vérifie tes bases

Écris les dix premiers multiples non nuls de 6 et de 8.

Quel est le plus petit multiple non nul commun à 6 et 8 ?

Calcule

PGCD (84; 60)

par l’algorithme d’Euclide.

Situation problème : Les deux cars de Douala

À la gare routière de Douala, un car pour Yaoundé part toutes les 18 minutes et un car pour Bafoussam toutes les 24 minutes. Ce matin, les deux cars sont partis ensemble à 6 h 00.
À quelle heure les deux cars repartiront-ils de nouveau ensemble pour la première fois ?

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Activité d’apprentissage

On note $a = 18$ et $b = 24$ .

Écris la liste des multiples de 18 et de 24 inférieurs à 150. Quel est le plus petit multiple commun non nul ?
Calcule $PGCD (18; 24)$ .
Calcule le produit $PGCD (18; 24) \times PPCM (18; 24)$ , puis le produit $18 \times 24$ . Que remarques-tu ?
Recommence avec 12 et 30. Réponds ensuite à la question de la situation problème.

PPCM de deux entiers

a

b

sont deux entiers naturels non nuls. Le PPCM de

a

b

, noté

PPCM (a; b)

, est le plus petit multiple commun non nul à

a

b

.
• Si

b

divise

a

, alors

PPCM (a; b) = a

.
• Tout multiple commun à

a

b

est un multiple de leur PPCM.

Exemple à traiter : Donne

PPCM (5; 7)

PPCM (12; 36)

PPCM (4; 6)

en écrivant les listes de multiples.

R2 · Relation entre PGCD et PPCM

Pour tous entiers naturels non nuls

a

b

PGCD (a; b) \times PPCM (a; b) = a \times b

Donc

PPCM (a; b) = \frac{a \times b}{PGCD (a; b)}

Exemple à traiter : Calcule

PGCD (84; 60)

, puis déduis-en

PPCM (84; 60)

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Cas des nombres premiers entre eux

a

b

sont premiers entre eux, alors

PGCD (a; b) = 1

et :

PPCM (a; b) = a \times b

Exemple à traiter : Vérifie que 15 et 28 sont premiers entre eux, puis donne leur PPCM.

Utiliser le PPCM

• Pour additionner deux fractions, on peut prendre comme dénominateur commun le PPCM des dénominateurs.
• Pour savoir quand deux phénomènes réguliers se reproduisent en même temps, on calcule le PPCM de leurs périodes.

Exemple à traiter : Calcule

\frac{7}{84} + \frac{11}{60}

en utilisant

PPCM (84; 60)

Erreurs fréquentes

⚠ Croire que PPCM = a × b

Ce n’est vrai que si les nombres sont premiers entre eux ; sinon, on divise par le PGCD.

⚠ Confondre multiple et diviseur

Le PPCM est un multiple : il est toujours supérieur ou égal au plus grand des deux nombres.

Exercice d’application

Calcule $PGCD (756; 1 080)$ , puis déduis-en $PPCM (756; 1 080)$ .
Deux phares s’allument ensemble. L’un s’allume toutes les 45 secondes, l’autre toutes les 60 secondes. Au bout de combien de temps s’allumeront-ils de nouveau ensemble ?
Deux nombres ont pour produit 2 940 et pour PGCD 7. Quel est leur PPCM ?

À retenir

PGCD (a; b) \times PPCM (a; b) = a \times b

. Le PPCM se calcule donc en divisant le produit des deux nombres par leur PGCD.