Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Arithmétique · Leçon 1

PGCD : algorithme des soustractions

Trouver le plus grand diviseur commun sans lister tous les diviseurs.

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Cours de Mathématiques : « PGCD : algorithme des soustractions », proposé par ndolomathndolomath

PGCD et soustractions

💡 Idée principale : Le PGCD de deux entiers est le plus grand nombre qui les divise tous les deux. On peut le trouver en remplaçant le plus grand nombre par la différence des deux, jusqu’à obtenir deux nombres égaux.

Ce que tu vas apprendre

Rappeler la définition du PGCD de deux entiers naturels.
Connaître la propriété : un diviseur commun à $a$ et $b$ divise aussi $a - b$ .
Appliquer l’algorithme des soustractions successives.
Utiliser le PGCD pour résoudre un problème de partage.

Pourquoi cette leçon ?

Lister tous les diviseurs de 1 080 et de 756 est long et l’on risque d’en oublier. L’algorithme des soustractions donne le PGCD en quelques lignes, avec des calculs simples, même pour de grands nombres.

Prérequis : vérifie tes bases

Écris la liste des diviseurs de 24 et de 36.

Donne les diviseurs communs à 24 et 36. Quel est le plus grand ?

Complète : 7 est un diviseur de 42 car 42 = 7 × …

Situation problème : Les cahiers de l’association

Une association de Garoua a reçu 168 cahiers et 120 stylos. Elle veut préparer des kits tous identiques pour des élèves, en utilisant tous les cahiers et tous les stylos.
Le trésorier veut faire le plus grand nombre de kits possible. Combien de kits peut-il préparer et que contiendra chaque kit ?

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Activité d’apprentissage

On veut comparer les diviseurs communs de deux nombres avec ceux de leur différence.

Écris la liste des diviseurs de 168 et de 120, puis celle de leurs diviseurs communs.
Calcule $168 - 120$ . Écris la liste des diviseurs communs à 120 et à ce résultat. Que remarques-tu ?
Recommence en remplaçant à chaque fois le plus grand nombre par la différence des deux nombres. Quand t’arrêtes-tu ?
Compare le dernier nombre obtenu avec le plus grand diviseur commun de 168 et 120. Réponds au trésorier.

PGCD de deux entiers

a

b

sont deux entiers naturels non nuls. Le PGCD de

a

b

, noté

PGCD (a; b)

, est le plus grand diviseur commun à

a

b

.
• Si

b

divise

a

, alors

PGCD (a; b) = b

.
•

PGCD (a; a) = a

PGCD (a; 1) = 1

Exemple à traiter : Donne, sans calcul long,

PGCD (45; 15)

PGCD (17; 17)

PGCD (28; 1)

R2 · Propriété de la différence

a > b

, alors les diviseurs communs à

a

b

sont exactement les diviseurs communs à

b

a - b

. Donc :

PGCD (a; b) = PGCD (b; a - b)

Exemple à traiter : Vérifie cette propriété avec

a = 36

b = 24

en écrivant les listes de diviseurs.

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Algorithme des soustractions

1. On soustrait le plus petit nombre du plus grand.
2. On garde le plus petit nombre et la différence obtenue.
3. On recommence jusqu’à obtenir deux nombres égaux : ce nombre est le PGCD.
On présente souvent les calculs dans un tableau à trois colonnes :

a

b

a - b

Exemple à traiter : Détermine

PGCD (252; 360)

PGCD (91; 65)

par l’algorithme des soustractions.

Problèmes de partage

Quand on veut faire des paquets identiques en utilisant tous les objets de deux sortes, le nombre de paquets est un diviseur commun aux deux quantités. Le plus grand nombre de paquets possible est leur PGCD.

Exemple à traiter : Un fleuriste dispose de 84 roses et 60 lys. Il veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs. Combien de bouquets fera-t-il et quelle sera leur composition ?

Erreurs fréquentes

⚠ S’arrêter trop tôt

On continue les soustractions jusqu’à ce que les deux nombres soient égaux.

⚠ Confondre PGCD et PPCM

Le PGCD divise les deux nombres : il est toujours inférieur ou égal au plus petit.

Exercice d’application

Calcule $PGCD (408; 216)$ par l’algorithme des soustractions.
Calcule $PGCD (135; 75)$ , puis simplifie la fraction $\frac{75}{135}$ en une seule étape.
Un carreleur doit couvrir une pièce rectangulaire de 330 cm sur 210 cm avec des carreaux carrés, tous identiques, sans les couper. Quelle est la plus grande longueur possible du côté d’un carreau ? Combien de carreaux faut-il alors ?

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À retenir

PGCD (a; b) = PGCD (b; a - b)

: on remplace le plus grand nombre par la différence jusqu’à obtenir deux nombres égaux. Ce nombre est le PGCD.