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MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Applications linéaires et applications affines · Leçon 3

Applications affines par intervalles

Une formule différente selon la tranche de valeurs.

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Cours de Mathématiques : « Applications affines par intervalles », proposé par ndolomathndolomath

Affines par intervalles

💡 Idée principale : Une application affine par intervalles est définie par des expressions affines différentes sur des intervalles différents. Sa représentation graphique est formée de segments ou de demi-droites mis bout à bout.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une application affine par intervalles.
Calculer des images en choisissant la bonne expression.
Représenter graphiquement une application affine par intervalles.
Modéliser une situation de tarifs par tranches.

Pourquoi cette leçon ?

Les tarifs d’eau ou d’électricité par tranches, le prix d’un parking selon la durée, les frais d’envoi d’un colis selon la masse : la formule change selon la tranche. Ce sont des applications affines par intervalles.

Prérequis : vérifie tes bases

Trace la droite représentant

x \mapsto 2 x + 1

3

appartient-il à

[0; 3 [

? à

[3; 5]

Calcule

f (4)

pour

f (x) = - x + 6

Situation problème : Le tarif de l’eau

La CAMWATER applique ce tarif mensuel : jusqu’à 10 m³, 350 F le m³ ; au-delà de 10 m³, chaque m³ supplémentaire coûte 500 F.
Combien paie une famille qui consomme 8 m³ ? 15 m³ ? Comment représenter le prix en fonction de la consommation ?

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Activité d’apprentissage

On note $x$ la consommation en m³ ( $0 \leq x \leq 20$ ) et $P (x)$ le prix en francs.

Exprime $P (x)$ pour $0 \leq x \leq 10$ .
Calcule $P (10)$ . Exprime $P (x)$ pour $10 < x \leq 20$ .
Calcule $P (8)$ et $P (15)$ .
Représente $P$ dans un repère. Que remarques-tu au point d’abscisse 10 ?

Définition

Une application affine par intervalles est une application dont l’expression est affine sur chacun de plusieurs intervalles. Par exemple :

f (x) = {\begin{cases} 2 x + 1 & si x < 1 \\ - x + 4 & si x \geq 1 \end{cases}

Exemple à traiter : Avec cette application

f

, calcule

f (- 2)

f (0)

f (1)

f (5)

R2 · Calculer une image

Pour calculer

f (x_{0})

, on repère d’abord l’intervalle qui contient

x_{0}

, puis on utilise l’expression correspondante. Attention aux bornes : elles n’appartiennent qu’à un seul intervalle.

Exemple à traiter : Soit

g (x) = 3

x \leq 0

g (x) = 3 - x

0 < x \leq 3

g (x) = 2 x - 6

x > 3

. Calcule

g (- 4)

g (2)

g (3)

g (5)

Représentation graphique

Sur chaque intervalle, on trace la portion de droite correspondante (segment ou demi-droite), en calculant les images aux bornes. On marque par un point plein une borne incluse, par un point creux une borne exclue.

Exemple à traiter : Représente l’application

g

de l’exemple R2 sur

[- 3; 6]

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Valeur absolue

L’application

x \mapsto | x |

est affine par intervalles :

| x | = - x

x < 0

| x | = x

x \geq 0

. Sa représentation forme un « V ».

Exemple à traiter : Écris

h (x) = | x - 2 |

sans valeur absolue, puis représente

h

Erreurs fréquentes

⚠ Mauvais intervalle

Avant de calculer, on vérifie dans quel intervalle se trouve le nombre.

⚠ Bornes mal placées

Une borne appartient à un seul des deux intervalles : c’est cette expression qu’on utilise.

Exercice d’application

Réponds aux questions de la situation problème et représente $P$ .
Un parking coûte 500 F pour la première heure, puis 300 F par heure supplémentaire, avec un maximum de 2 000 F par jour. Exprime le prix en fonction de la durée $x$ (en heures, $1 \leq x \leq 12$ ) et représente-le.
Écris $k (x) = | 2 x + 4 |$ sans valeur absolue et représente $k$ .

À retenir

Affine par intervalles : une expression affine différente sur chaque intervalle. On choisit la bonne expression selon l’intervalle, et le graphique est formé de morceaux de droites.