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MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Applications linéaires et applications affines · Leçon 2

Représentation graphique d’une application affine

Une droite, son coefficient directeur et son ordonnée à l’origine.

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Cours de Mathématiques : « Représentation graphique d’une application affine », proposé par ndolomathndolomath

Représentation graphique

💡 Idée principale : La représentation graphique d’une application affine

x \mapsto a x + b

est une droite d’équation

y = a x + b

. On la trace avec deux points, et l’on lit graphiquement images, antécédents et solutions d’équations.

Ce que tu vas apprendre

Savoir que la représentation d’une application affine est une droite.
Tracer la droite à partir de deux points ou de $a$ et $b$ .
Lire graphiquement des images et des antécédents.
Retrouver l’expression d’une application affine à partir de sa droite.

Pourquoi cette leçon ?

Un graphique permet de comparer d’un coup d’œil deux tarifs, deux trajets ou deux plans d’épargne. Le point où les droites se croisent indique quand une offre devient plus avantageuse que l’autre.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

f (0)

f (2)

pour

f (x) = 3 x - 1

Place les points

A (0; - 1)

B (2; 5)

dans un repère.

Que représente

m

dans

y = m x + p

Situation problème : Les deux taxis

À Douala, le taxi A demande 300 F de prise en charge et 100 F par km ; le taxi B ne prend pas de prise en charge mais demande 150 F par km.
Sur un même graphique, représente le prix de chaque taxi selon la distance. Pour quelles distances le taxi A est-il le moins cher ?

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Activité d’apprentissage

On note $f (x) = 100 x + 300$ et $g (x) = 150 x$ , où $x$ est la distance en km.

Complète un tableau de valeurs pour $x = 0$ , 2, 4, 6, 8.
Place les points et trace les deux représentations graphiques. Que remarques-tu ?
Lis les coordonnées du point d’intersection des deux droites. Que représentent-elles ?
Lis sur le graphique les distances pour lesquelles le taxi A est le moins cher. Vérifie par le calcul.

Représentation graphique

Dans un repère, la représentation graphique de

f : x \mapsto a x + b

est la droite d’équation

y = a x + b

.
•

a

est le coefficient directeur ;

b

est l’ordonnée à l’origine.
• Si

f

est linéaire (

b = 0

), la droite passe par l’origine.

Exemple à traiter : Donne le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine des droites représentant

f (x) = - 2 x + 5

g (x) = \frac{3}{4} x

R2 · Tracer la droite

Méthode 1 : calculer les images de deux nombres et placer les deux points.
Méthode 2 : placer le point

(0; b)

, puis avancer de 1 unité vers la droite et monter de

a

unités (descendre si

a < 0

Exemple à traiter : Trace dans un même repère les droites représentant

f (x) = 2 x - 3

g (x) = - x + 4

h (x) = \frac{1}{2} x

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Lectures graphiques

• L’image de

x_{0}

est l’ordonnée du point de la droite d’abscisse

x_{0}

.
• L’antécédent de

y_{0}

est l’abscisse du point de la droite d’ordonnée

y_{0}

.
• Les solutions de

f (x) = g (x)

sont les abscisses des points d’intersection ; celles de

f (x) < g (x)

correspondent à la partie où la droite de

f

est en dessous de celle de

g

Exemple à traiter : Avec les droites de l’exemple R2, lis l’image de 3 par

f

, l’antécédent de 2 par

g

, et résous graphiquement

f (x) = g (x)

Retrouver l’expression

À partir de deux points de la droite, on calcule

a = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}

, puis

b

(ordonnée du point d’abscisse 0).

Exemple à traiter : Une droite passe par

(0; 2)

(3; - 4)

. Détermine l’application affine qu’elle représente.

Erreurs fréquentes

⚠ Inverser abscisse et ordonnée

L’image se lit sur l’axe des ordonnées, l’antécédent sur l’axe des abscisses.

⚠ Un seul point

Il faut deux points distincts pour tracer une droite ; un troisième sert de vérification.

Exercice d’application

Trace la droite représentant $f (x) = - \frac{3}{2} x + 3$ . Lis l’antécédent de 0 et vérifie par le calcul.
Réponds aux questions de la situation problème.
Une droite passe par $A (- 2; 1)$ et $B (4; 4)$ . Détermine l’application affine correspondante.

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À retenir

La représentation de

x \mapsto a x + b

est une droite d’ordonnée à l’origine

b

et de coefficient directeur

a

. Image : lecture verticale ; antécédent : lecture horizontale.