Cours
MATHÉMATIQUES · 3e
Chapitre : Applications linéaires et applications affines · Leçon 1

Applications affines : images, antécédents et sens de variation

Des fonctions de la forme x ↦ ax + b.
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Applications affines
💡 Idée principale : Une application affine associe à chaque réel x le nombre ax+b. On calcule des images, on cherche des antécédents en résolvant une équation, et le signe de a indique si l’application est croissante ou décroissante.
Ce que tu vas apprendre
  1. Reconnaître une application linéaire et une application affine.
  2. Calculer une image et un antécédent.
  3. Déterminer une application affine à partir de deux nombres et de leurs images.
  4. Étudier le sens de variation selon le signe de a.
Pourquoi cette leçon ?
Le prix d’une course de taxi, la facture d’électricité avec un abonnement fixe, la température qui baisse quand on monte en altitude : toutes ces situations se modélisent par des applications affines.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Calcule 3x−5 pour x=−2.
2
Résous : 2x+7=1.
3
Complète un tableau de proportionnalité : x : 2 ; 5 → y : 6 ; …
Situation problème : La facture d’électricité

ENEO propose deux formules : formule A, 50 F par kWh sans abonnement ; formule B, 1 500 F d’abonnement par mois plus 35 F par kWh.
Pour une consommation de 80 kWh, quelle formule est la moins chère ? Pour quelle consommation les deux formules coûtent-elles la même chose ?

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Activité d’apprentissage

On note x la consommation mensuelle en kWh, f(x) le prix avec la formule A et g(x) le prix avec la formule B.

  1. Exprime f(x) et g(x) en fonction de x.
  2. Calcule f(80) et g(80). Quelle formule est la moins chère ?
  3. Résous f(x)=g(x). Interprète la solution.
  4. Quand x augmente, comment varient f(x) et g(x) ?
R1
Définitions
Soient a et b deux réels.
• L’application f:x↦ax+b est une application affine.
• Si b=0, f:x↦ax est une application linéaire (situation de proportionnalité).
• Si a=0, f:x↦b est une application constante.
Exemple à traiter : Parmi f(x)=3x−1, g(x)=−2x, h(x)=x2+1, k(x)=5, lesquelles sont affines ? linéaires ?
R2 · Image et antécédent
• L’image de x0 par f est f(x0)=ax0+b.
• Un antécédent de y0 est un nombre x tel que f(x)=y0 : on résout ax+b=y0.
Exemple à traiter : Soit f(x)=−3x+4. Calcule l’image de −2 et de 13, puis l’antécédent de 10.
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R3
Déterminer une application affine
Si f est affine et si l’on connaît f(x1) et f(x2) avec x1≠x2, alors : a=f(x2)−f(x1)x2−x1 puis on calcule b en écrivant f(x1)=ax1+b.
Exemple à traiter : Détermine l’application affine f telle que f(1)=5 et f(4)=−1.
R4
Sens de variation
Pour f:x↦ax+b :
• si a>0, f est croissante ;
• si a<0, f est décroissante ;
• si a=0, f est constante.
Exemple à traiter : Donne le sens de variation de f(x)=2x−7, g(x)=−12x+3 et h(x)=4.
Erreurs fréquentes
⚠ Confondre image et antécédent
L’image se calcule ; l’antécédent s’obtient en résolvant une équation.
⚠ Inverser le quotient
a=variation des imagesvariation des x.
Exercice d’application
  1. Soit f(x)=4x−3. Calcule f(0), f(−1,5), puis l’antécédent de 13.
  2. Détermine l’application affine g telle que g(−2)=7 et g(3)=−8. Donne son sens de variation.
  3. Réponds aux questions de la situation problème.
À retenir
Affine : x↦ax+b ; linéaire si b=0. a=f(x2)−f(x1)x2−x1. a>0 : croissante ; a<0 : décroissante.
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Préparation du PDF…