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MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Angles inscrits dans un cercle · Leçon 2

Angles inscrits interceptant le même arc

Même arc intercepté, même mesure.

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Cours de Mathématiques : « Angles inscrits interceptant le même arc », proposé par ndolomathndolomath

Angles inscrits égaux

💡 Idée principale : Deux angles inscrits dans un même cercle qui interceptent le même arc ont la même mesure, car ils valent tous deux la moitié du même angle au centre.

Ce que tu vas apprendre

Démontrer que deux angles inscrits interceptant le même arc sont égaux.
Utiliser cette propriété pour calculer des angles.
Reconnaître des angles inscrits qui interceptent des arcs différents (supplémentaires).

Pourquoi cette leçon ?

Pour un tir au but, l’angle de vue compte. Tous les joueurs placés sur le même arc de cercle passant par les poteaux voient le but sous le même angle : la propriété des angles inscrits explique pourquoi.

Prérequis : vérifie tes bases

Énonce la relation entre un angle inscrit et l’angle au centre associé.

Que dire de deux angles dont la somme vaut 180° ?

Quelle est la somme des angles d’un quadrilatère ?

Situation problème : Les tireurs au but

Lors d’un entraînement de football à Garoua, l’entraîneur place trois joueurs $M$ , $N$ , $P$ sur un même arc de cercle passant par les poteaux $A$ et $B$ . Le joueur $M$ voit le but sous un angle de 35°.
Sous quel angle les joueurs $N$ et $P$ voient-ils le but ? Et un joueur placé sur l’autre arc du cercle ?

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Activité d’apprentissage

$A$ , $B$ , $M$ , $N$ sont quatre points d’un cercle de centre $O$ , $M$ et $N$ étant sur le même arc.

Exprime $\hat{A M B}$ et $\hat{A N B}$ en fonction de $\hat{A O B}$ .
Que peux-tu en déduire pour $\hat{A M B}$ et $\hat{A N B}$ ?
Place un point $Q$ sur l’autre arc $A B$ . Mesure $\hat{A Q B}$ et calcule $\hat{A M B} + \hat{A Q B}$ .
Réponds aux questions de la situation problème.

Même arc intercepté

Dans un cercle, deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure :

\hat{A M B} = \hat{A N B}

Exemple à traiter :

A

B

C

D

sont sur un cercle,

C

D

sur le même arc

A B

, avec

\hat{A C B} = 42 °

. Calcule

\hat{A D B}

R2 · Arcs opposés

M

Q

sont sur deux arcs différents délimités par

A

B

, alors

\hat{A M B} + \hat{A Q B} = 180 °

: ces angles inscrits sont supplémentaires.
Conséquence : dans un quadrilatère inscrit dans un cercle, les angles opposés sont supplémentaires.

Exemple à traiter :

A B C D

est un quadrilatère inscrit dans un cercle avec

\hat{A B C} = 105 °

. Calcule

\hat{A D C}

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Utiliser plusieurs propriétés

Pour calculer un angle, on combine : angles inscrits égaux, angle au centre, somme des angles d’un triangle (180°), triangle isocèle formé par deux rayons.

Exemple à traiter : Dans un cercle de centre

O

A

B

C

D

sont tels que

\hat{B A C} = 30 °

\hat{A C D} = 40 °

. Calcule

\hat{B D C}

\hat{A B D}

\hat{B O C}

Erreurs fréquentes

⚠ Arcs différents

Deux angles inscrits n’ont la même mesure que s’ils interceptent le même arc.

⚠ Oublier le cas supplémentaire

Sur l’autre arc, l’angle inscrit vaut 180° moins le premier.

Exercice d’application

Les diagonales d’un quadrilatère $A B C D$ inscrit dans un cercle se coupent en $I$ . Démontre que $\hat{A B D} = \hat{A C D}$ , puis que les triangles $A B I$ et $D C I$ ont les mêmes angles.
$E F G H$ est inscrit dans un cercle avec $\hat{E F G} = 72 °$ et $\hat{F G H} = 95 °$ . Calcule $\hat{G H E}$ et $\hat{H E F}$ .
Dans la situation problème, calcule l’angle sous lequel un joueur placé sur l’autre arc voit le but.

À retenir

Même arc intercepté ⟹ angles inscrits égaux. Arcs opposés ⟹ angles inscrits supplémentaires (somme 180°).