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MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Angles inscrits dans un cercle · Leçon 1

Angles inscrits et angles au centre associés

Un angle inscrit mesure la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc.

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Angle inscrit, angle au centre

💡 Idée principale : Dans un cercle, un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur le cercle. Sa mesure est la moitié de celle de l’angle au centre qui intercepte le même arc.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître un angle inscrit et un angle au centre dans un cercle.
Identifier l’arc intercepté par un angle.
Utiliser la relation entre un angle inscrit et l’angle au centre associé.

Pourquoi cette leçon ?

Au stade Ahmadou Ahidjo, un photographe placé sur le bord d’une piste circulaire voit les buts sous un certain angle. Où qu’il se place sur le même arc, cet angle ne change pas : c’est une propriété des angles inscrits.

Prérequis : vérifie tes bases

Quelle est la somme des angles d’un triangle ?

Dans un triangle isocèle, que dire des angles à la base ?

Rappelle la définition d’un angle au centre.

Situation problème : Le photographe du stade

Une piste a la forme d’un cercle de centre $O$ . Les deux poteaux d’un but sont en $A$ et $B$ sur le cercle, avec $\hat{A O B} = 80 °$ . Un photographe se place en un point $M$ du cercle, sur le grand arc $A B$ .
Sous quel angle voit-il le but ? Cet angle change-t-il s’il se déplace sur le grand arc ?

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Activité d’apprentissage

On trace un cercle de centre $O$ et trois points $A$ , $B$ , $M$ sur ce cercle, $M$ étant sur le grand arc $A B$ .

Activité : à toi de chercher

Mesure $\hat{A O B}$ et $\hat{A M B}$ . Que remarques-tu ?
Déplace $M$ sur le grand arc et mesure de nouveau $\hat{A M B}$ . Que constates-tu ?
On suppose que $O$ est sur $[M B]$ ( $[M B]$ est un diamètre). Le triangle $O M A$ est isocèle : démontre que $\hat{A O B} = 2 \hat{A M B}$ .
Réponds aux questions de la situation problème.

Vocabulaire

• Un angle au centre a pour sommet le centre du cercle.
• Un angle inscrit a son sommet sur le cercle et ses côtés coupent le cercle en deux autres points.
• L’arc intercepté est l’arc compris entre les côtés de l’angle (celui qui ne contient pas le sommet).

Exemple à traiter : Dans la figure de l’activité, nomme un angle au centre et un angle inscrit, puis l’arc qu’ils interceptent.

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R2 · Propriété fondamentale

Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc :

\hat{A M B} = \frac{1}{2} \hat{A O B}

Exemple à traiter :

A

B

M

sont sur un cercle de centre

O

M

sur le grand arc. Calcule

\hat{A M B}

\hat{A O B} = 130 °

, puis

\hat{A O B}

\hat{A M B} = 38 °

Cas du demi-cercle

[A B]

est un diamètre, l’angle au centre

\hat{A O B}

est plat (180°). Tout angle inscrit qui intercepte un demi-cercle est donc droit : le triangle

A M B

est rectangle en

M

Exemple à traiter :

[E F]

est un diamètre d’un cercle et

G

un point de ce cercle avec

\hat{G E F} = 27 °

. Calcule

\hat{E G F}

puis

\hat{G F E}

Erreurs fréquentes

⚠ Prendre le double

C’est l’angle au centre qui est le double de l’angle inscrit, et non l’inverse.

⚠ Mauvais arc

Les deux angles doivent intercepter le même arc pour appliquer la propriété.

Exercice d’application

Sur un cercle de centre $O$ , $\hat{A O B} = 110 °$ . Calcule l’angle inscrit $\hat{A C B}$ pour $C$ sur le grand arc.
$A B C$ est un triangle inscrit dans un cercle de centre $O$ avec $\hat{B A C} = 50 °$ . Calcule $\hat{B O C}$ , puis les angles du triangle $B O C$ .
$A B C D$ est un carré inscrit dans un cercle de centre $O$ . Calcule $\hat{A O B}$ et l’angle inscrit $\hat{A C B}$ .

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À retenir

Angle inscrit = moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc. Un angle inscrit qui intercepte un demi-cercle est droit.