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MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Vecteurs du plan · Leçon 2

Combinaisons linéaires et bases

Exprimer tout vecteur avec deux vecteurs de référence.

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Cours de Mathématiques : « Combinaisons linéaires et bases », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : Une combinaison linéaire de

\vec{u}

\vec{v}

est un vecteur de la forme

a \vec{u} + b \vec{v}

. Si

\vec{u}

\vec{v}

ne sont pas colinéaires, ils forment une base : tout vecteur du plan s’écrit de façon unique

x \vec{u} + y \vec{v}

, et

(x; y)

sont ses coordonnées.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître des vecteurs colinéaires (critère du déterminant).
Exprimer un vecteur comme combinaison linéaire de deux autres.
Utiliser les coordonnées dans une base pour démontrer alignements et parallélismes.

Pourquoi cette leçon ?

Sur une carte, on se repère avec deux directions de référence (est et nord). Dans un parallélogramme, deux côtés suffisent à décrire tous les points. C’est l’idée de base du plan.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis

2 \vec{u} - \vec{v}

pour deux vecteurs donnés.

Que signifie « vecteurs colinéaires » ?

Calcule

3 \times 4 - 2 \times 6

Situation problème : Le plan de la place

Sur le plan d’une place triangulaire $A B C$ , on note $\vec{u} = \vec{A B}$ et $\vec{v} = \vec{A C}$ . Une fontaine $F$ vérifie $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{u} + \frac{1}{3} \vec{v}$ , et une statue $S$ est au milieu de $[B C]$ .
Les points $A$ , $F$ , $S$ sont-ils alignés ?

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Activité d’apprentissage

On exprime les vecteurs dans la base $(\vec{u}, \vec{v})$ .

Exprime $\vec{A S}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .
Compare $\vec{A F}$ et $\vec{A S}$ .
Existe-t-il un réel $k$ tel que $\vec{A F} = k \vec{A S}$ ?
Réponds à la situation problème.

Colinéarité

\vec{u}

\vec{v}

sont colinéaires s’il existe

k

tel que

\vec{v} = k \vec{u}

(ou

\vec{u} = \vec{0}

). Dans une base,

\vec{u} (x; y)

\vec{v} (x^{'}; y^{'})

sont colinéaires si et seulement si

det (\vec{u}, \vec{v}) = x y^{'} - x^{'} y = 0

Exemple à traiter : Les vecteurs

\vec{a} (2; - 3)

\vec{b} (- 4; 6)

sont-ils colinéaires ? Et

\vec{c} (1; 2)

\vec{d} (3; 5)

R2 · Base et coordonnées

\vec{u}

\vec{v}

ne sont pas colinéaires,

(\vec{u}, \vec{v})

est une base du plan : tout vecteur

\vec{w}

s’écrit de façon unique

\vec{w} = x \vec{u} + y \vec{v}

(x; y)

sont les coordonnées de

\vec{w}

dans cette base.

Exemple à traiter :

A B C D

est un parallélogramme. Donne les coordonnées de

\vec{A C}

\vec{B D}

\vec{C A}

dans la base

(\vec{A B}, \vec{A D})

Applications

•

A

B

C

alignés ⟺

\vec{A B}

\vec{A C}

colinéaires.
•

(A B) ∥ (C D)

⟺

\vec{A B}

\vec{C D}

colinéaires.

Exemple à traiter :

A B C

est un triangle,

E

tel que

\vec{A E} = 3 \vec{A B}

F

tel que

\vec{C F} = 2 \vec{C B}

. Exprime

\vec{E F}

dans la base

(\vec{A B}, \vec{A C})

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Erreurs fréquentes

⚠ Base de vecteurs colinéaires

Deux vecteurs colinéaires ne forment pas une base.

⚠ Déterminant mal calculé

det = x y^{'} - x^{'} y

: produits croisés.

Exercice d’application

Dans la base $(\vec{A B}, \vec{A C})$ , on donne $\vec{A M} = 2 \vec{A B} + \vec{A C}$ et $\vec{A N} = - \vec{A B} + 3 \vec{A C}$ . Calcule les coordonnées de $\vec{M N}$ .
Démontre que $M$ , $N$ et le point $P$ défini par $\vec{A P} = 5 \vec{A B} - \vec{A C}$ sont alignés.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Deux vecteurs non colinéaires forment une base : tout vecteur s’écrit

x \vec{u} + y \vec{v}

de façon unique. Colinéarité ⟺ déterminant nul.