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MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Vecteurs du plan · Leçon 1

Construction et égalité de vecteurs

Direction, sens, norme, et la relation de Chasles.

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Cours de Mathématiques : « Construction et égalité de vecteurs », proposé par ndolomathndolomath

Vecteurs du plan

💡 Idée principale : Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme. Deux vecteurs sont égaux s’ils ont ces trois caractéristiques en commun :

\vec{A B} = \vec{C D}

signifie que

A B D C

est un parallélogramme. On les additionne avec la relation de Chasles.

Ce que tu vas apprendre

Définir un vecteur et reconnaître deux vecteurs égaux.
Construire la somme de deux vecteurs (Chasles, parallélogramme).
Construire $k \vec{u}$ et utiliser les règles de calcul vectoriel.

Pourquoi cette leçon ?

Forces, vitesses et déplacements se représentent par des vecteurs. Pour connaître l’effet de deux forces sur un objet, on additionne des vecteurs.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis l’image d’un point par une translation.

Rappelle la propriété des diagonales d’un parallélogramme.

Qu’est-ce que la direction d’une droite ?

Situation problème : La barque et le courant

Une barque traverse le Wouri. Le rameur la propulse selon un vecteur $\vec{u}$ perpendiculaire à la rive, et le courant l’entraîne selon un vecteur $\vec{v}$ parallèle à la rive.
Comment représenter le déplacement réel de la barque ? Où accostera-t-elle ?

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Activité d’apprentissage

On représente $\vec{u}$ et $\vec{v}$ à partir d’un point $A$ de la rive.

Construis $B$ tel que $\vec{A B} = \vec{u}$ , puis $C$ tel que $\vec{B C} = \vec{v}$ .
Que représente $\vec{A C}$ ?
Construis $D$ tel que $\vec{A D} = \vec{v}$ . Quelle est la nature de $A B C D$ ?
Réponds à la situation problème.

Vecteurs égaux

\vec{A B} = \vec{C D}

si et seulement si

A B D C

est un parallélogramme (éventuellement aplati), si et seulement si

[A D]

[B C]

ont le même milieu.

Exemple à traiter :

A B C D

est un parallélogramme de centre

O

. Écris toutes les égalités de vecteurs que tu peux lire.

R2 · Addition

• Relation de Chasles :

\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}

.
• Règle du parallélogramme :

\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}

A B C D

est un parallélogramme.
•

\vec{A B} + \vec{B A} = \vec{0}

Exemple à traiter : Simplifie

\vec{M A} + \vec{A B} - \vec{M B}

\vec{A B} - \vec{A C} + \vec{B C}

Produit par un réel

k \vec{u}

a la direction de

\vec{u}

, le même sens si

k > 0

, le sens contraire si

k < 0

, et pour norme

| k | ‖ \vec{u} ‖

. On a

k (\vec{u} + \vec{v}) = k \vec{u} + k \vec{v}

(k + k^{'}) \vec{u} = k \vec{u} + k^{'} \vec{u}

Exemple à traiter :

A B C

est un triangle. Construis

M

tel que

\vec{A M} = 2 \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C}

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Erreurs fréquentes

⚠ Ordre des lettres

\vec{A B} = \vec{C D}

donne le parallélogramme

A B D C

, pas

A B C D

⚠ Chasles mal enchaîné

L’extrémité du premier vecteur doit être l’origine du second.

Exercice d’application

$I$ est le milieu de $[A B]$ . Démontre que pour tout point $M$ , $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$ .
$A B C D$ est un parallélogramme. Construis $E$ tel que $\vec{A E} = \vec{A B} + \vec{A C}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Vecteurs égaux ⟺ parallélogramme. Chasles :

\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}

k \vec{u}

: même direction, sens selon le signe de

k