Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Transformations du plan · Leçon 5

Transformations et problèmes de construction et de lieux

Utiliser la bonne transformation pour construire ou trouver un lieu.

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Cours de Mathématiques : « Transformations et problèmes de construction et de lieux », proposé par ndolomathndolomath

Problèmes de transformations

💡 Idée principale : Beaucoup de problèmes de géométrie se résolvent en transformant une partie de la figure : un point cherché est l’image d’un point connu, un lieu géométrique est l’image d’une droite ou d’un cercle par une transformation.

Ce que tu vas apprendre

Choisir une transformation adaptée à un problème.
Résoudre un problème de construction à l’aide d’une transformation.
Déterminer un lieu géométrique comme image d’une figure connue.

Pourquoi cette leçon ?

Comment construire un triangle équilatéral dont les sommets sont sur trois droites données ? Où se trouve le milieu d’un segment dont une extrémité se déplace sur un cercle ? Les transformations répondent élégamment.

Prérequis : vérifie tes bases

Énonce les propriétés de l’homothétie et de la rotation.

Construis l’image d’un cercle par une homothétie.

Qu’est-ce qu’un lieu géométrique ?

Situation problème : Le point lumineux

Une lampe $A$ est fixe et un point $M$ se déplace sur un cercle $(C)$ de centre $O$ et de rayon 4. On s’intéresse au milieu $I$ du segment $[A M]$ .
Quelle ligne décrit le point $I$ quand $M$ parcourt le cercle ?

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Activité d’apprentissage

On cherche une transformation qui envoie $M$ sur $I$ .

Exprime $\vec{A I}$ en fonction de $\vec{A M}$ .
Quelle transformation transforme $M$ en $I$ ?
Quelle est l’image du cercle $(C)$ par cette transformation ? Précise son centre et son rayon.
Réponds à la situation problème.

Lieu géométrique

M

décrit une figure

F

et si

N = t (M)

pour une transformation

t

, alors

N

décrit l’image

t (F)

Exemple à traiter :

M

décrit une droite

(d)

;

N

est tel que

\vec{A N} = 3 \vec{A M}

. Quel est le lieu de

N

R2 · Problème de construction

Pour construire un point

M

vérifiant deux conditions, on traduit une condition par «

M

est l’image d’un point d’une figure

F

», puis on cherche l’intersection de

t (F)

avec l’autre figure.

Exemple à traiter : Construis un triangle équilatéral

A B C

dont

A

est donné,

B

sur une droite

(d_{1})

C

sur une droite

(d_{2})

(aide : rotation de centre

A

et d’angle

\frac{π}{3}

Choisir la transformation

Milieux et rapports de longueurs alignées : homothétie. Angles et triangles équilatéraux ou carrés : rotation. Parallélogrammes et déplacements : translation. Égalités de distances à une droite : symétrie orthogonale.

Exemple à traiter :

A B C D

est un carré direct. Un point

M

décrit le segment

[A B]

;

N

est tel que

A M N

est un triangle rectangle isocèle direct en

A

. Quel est le lieu de

N

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Erreurs fréquentes

⚠ Mauvaise transformation

On identifie d’abord la relation vectorielle ou angulaire entre le point connu et le point cherché.

⚠ Image partielle

M

ne décrit qu’un segment ou un arc, le lieu est l’image de ce segment ou de cet arc.

Exercice d’application

Un point $M$ décrit un cercle de centre $O$ ; $G$ est le centre de gravité du triangle $A B M$ ( $A$ , $B$ fixes). Détermine le lieu de $G$ .
Construis un carré $A B C D$ tel que $A$ soit donné, $B$ sur une droite $(d)$ et $D$ sur un cercle $(C)$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

N = t (M)

M

décrit

F

, alors

N

décrit

t (F)

. Choisir l’homothétie pour les milieux, la rotation pour les angles, la translation pour les parallélogrammes.