Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Transformations du plan · Leçon 4

Composées de transformations usuelles

Enchaîner deux transformations.

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Cours de Mathématiques : « Composées de transformations usuelles », proposé par ndolomathndolomath

Composer des transformations

💡 Idée principale : Composer deux transformations, c’est les appliquer l’une après l’autre. La composée de deux translations est une translation ; celle de deux symétries centrales est une translation ; celle de deux symétries orthogonales d’axes parallèles est une translation, d’axes sécants une rotation.

Ce que tu vas apprendre

Définir la composée de deux transformations.
Identifier la composée de deux translations, de deux symétries centrales.
Identifier la composée de deux symétries orthogonales (axes parallèles ou sécants).

Pourquoi cette leçon ?

Un objet réfléchi successivement par deux miroirs, ou déplacé en deux étapes, subit une composée de transformations. On peut souvent remplacer les deux étapes par une seule transformation simple.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis le symétrique d’un point par rapport à une droite.

Énonce la relation de Chasles pour les vecteurs.

Construis l’image d’un point par une rotation de

\frac{π}{2}

Situation problème : Les deux miroirs

Une lampe $L$ est placée entre deux miroirs plans parallèles distants de 1,5 m. On regarde l’image de la lampe dans le premier miroir, puis l’image de cette image dans le second miroir.
À quelle distance de la lampe se trouve cette seconde image ? Comment passer directement de la lampe à cette image ?

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Activité d’apprentissage

On note $s_{1}$ et $s_{2}$ les symétries orthogonales d’axes $(d_{1})$ et $(d_{2})$ parallèles, distants de $d$ .

Construis $M_{1} = s_{1} (M)$ , puis $M^{'} = s_{2} (M_{1})$ .
Mesure $M M^{'}$ et compare avec la distance entre les axes.
Recommence avec un autre point $N$ . Compare $\vec{M M^{'}}$ et $\vec{N N^{'}}$ .
Réponds à la situation problème.

Composée

La composée

g \circ f

est la transformation qui à

M

associe

g (f (M))

: on applique d’abord

f

, puis

g

. En général,

g \circ f \neq f \circ g

Exemple à traiter :

f

est la translation de vecteur

\vec{u}

g

celle de vecteur

\vec{v}

. Détermine

g \circ f

R2 · Symétries centrales

La composée de la symétrie de centre

A

suivie de la symétrie de centre

B

est la translation de vecteur

2 \vec{A B}

Exemple à traiter : Démontre ce résultat en utilisant le milieu

I

[M M_{1}]

et le milieu

J

[M_{1} M^{'}]

Symétries orthogonales

• Axes parallèles

(d_{1})

(d_{2})

s_{2} \circ s_{1}

est la translation de vecteur

2 \vec{u}

, où

\vec{u}

est le vecteur orthogonal allant de

(d_{1})

(d_{2})

.
• Axes sécants en

O

s_{2} \circ s_{1}

est la rotation de centre

O

et d’angle

2 (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}})

, où

\vec{u_{1}}

\vec{u_{2}}

dirigent les axes.

Exemple à traiter : Deux droites se coupent en

O

en formant un angle de 30°. Quelle est la composée des deux symétries orthogonales correspondantes ?

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Erreurs fréquentes

⚠ Ordre de composition

g \circ f

: on applique

f

en premier.

⚠ Double de l’angle

La composée de deux symétries d’axes sécants est une rotation d’angle double de l’angle des axes.

Exercice d’application

Détermine la composée de trois symétries centrales de centres $A$ , $B$ , $C$ (aide : regroupe les deux premières).
Démontre que toute translation peut s’écrire comme composée de deux symétries centrales.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Deux translations : translation. Deux symétries centrales : translation de vecteur

2 \vec{A B}

. Deux symétries orthogonales : translation (axes parallèles) ou rotation (axes sécants).