Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Transformations du plan · Leçon 3

Rotations dans le plan orienté

Tourner autour d’un point d’un angle donné.

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Cours de Mathématiques : « Rotations dans le plan orienté », proposé par ndolomathndolomath

Rotations

💡 Idée principale : La rotation de centre

O

et d’angle

θ

associe à

M

le point

M^{'}

tel que

O M^{'} = O M

(\vec{O M}, \vec{O M^{'}}) = θ

. C’est une isométrie qui conserve aussi les angles orientés.

Ce que tu vas apprendre

Définir une rotation dans le plan orienté.
Construire l’image d’un point et d’une figure par une rotation.
Utiliser les propriétés des rotations (distances, angles orientés).
Reconnaître une rotation dans une figure (triangle équilatéral, carré).

Pourquoi cette leçon ?

Les aiguilles d’une horloge, une roue, un ventilateur, les motifs tournants d’une rosace : tous ces mouvements sont des rotations.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis un angle orienté de

\frac{π}{3}

Rappelle la définition d’un triangle équilatéral.

Énonce la relation de Chasles pour les angles orientés.

Situation problème : Le carrelage en rosace

Un carreleur de Foumban dessine une rosace : à partir d’un motif triangulaire, il le fait tourner six fois de $\frac{π}{3}$ autour du centre $O$ de la rosace.
Les six motifs sont-ils superposables ? Le dernier motif retombe-t-il sur le premier ?

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Activité d’apprentissage

On place un point $O$ et un point $M$ .

Construis le point $M^{'}$ tel que $O M^{'} = O M$ et $(\vec{O M}, \vec{O M^{'}}) = \frac{π}{3}$ . Quelle est la nature du triangle $O M M^{'}$ ?
Construis l’image d’un segment $[M N]$ par cette rotation. Compare $M N$ et $M^{'} N^{'}$ .
Mesure l’angle $(\vec{M N}, \vec{M^{'} N^{'}})$ .
Réponds à la situation problème.

Définition

La rotation

r

de centre

O

et d’angle

θ

associe à

O

le point

O

, et à

M \neq O

le point

M^{'}

tel que

O M^{'} = O M

(\vec{O M}, \vec{O M^{'}}) = θ

. Si

θ = π

, c’est la symétrie de centre

O

Exemple à traiter : Construis l’image d’un triangle par la rotation de centre l’un de ses sommets et d’angle

- \frac{π}{2}

R2 · Propriétés

Une rotation conserve les distances (c’est une isométrie), l’alignement, le parallélisme, les angles orientés. Si

M^{'} = r (M)

N^{'} = r (N)

, alors

M^{'} N^{'} = M N

(\vec{M N}, \vec{M^{'} N^{'}}) = θ

Exemple à traiter : Démontre que l’image d’une droite par une rotation d’angle

\frac{π}{2}

lui est perpendiculaire.

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Reconnaître une rotation

O A = O B

(\vec{O A}, \vec{O B}) = θ

, alors

B

est l’image de

A

par la rotation de centre

O

et d’angle

θ

. Exemple : dans un carré direct

A B C D

de centre

O

, la rotation de centre

O

et d’angle

\frac{π}{2}

envoie

A

sur

B

Exemple à traiter :

A B C

A C D

sont deux triangles équilatéraux directs. Démontre que la rotation de centre

A

et d’angle

\frac{π}{3}

transforme

B

C

C

D

Erreurs fréquentes

⚠ Sens de rotation

Un angle positif correspond au sens direct (contraire des aiguilles d’une montre).

⚠ Distance au centre

O M^{'} = O M

: l’image reste sur le cercle de centre

O

passant par

M

Exercice d’application

$A B C$ est un triangle ; on construit à l’extérieur les carrés $A B D E$ et $A C F G$ . Démontre que $E C = B G$ et que $(E C) ⊥ (B G)$ .
Construis l’image d’un cercle par une rotation d’angle $\frac{2 π}{3}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Rotation de centre

O

, d’angle

θ

O M^{'} = O M

(\vec{O M}, \vec{O M^{'}}) = θ

. Elle conserve distances et angles orientés.