Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Transformations du plan · Leçon 2

Propriétés des homothéties

Agrandir ou réduire en conservant les formes.

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Cours de Mathématiques : « Propriétés des homothéties », proposé par ndolomathndolomath

Homothéties

💡 Idée principale : L’homothétie de centre

O

et de rapport

k

(

k \neq 0

) associe à

M

le point

M^{'}

tel que

\vec{O M^{'}} = k \vec{O M}

. Elle conserve l’alignement, le parallélisme et les angles ; elle multiplie les distances par

| k |

et les aires par

k^{2}

Ce que tu vas apprendre

Construire l’image d’un point et d’une figure par une homothétie.
Utiliser la propriété $\vec{M^{'} N^{'}} = k \vec{M N}$ .
Utiliser les propriétés de conservation.
Déterminer une homothétie qui transforme une figure en une autre.

Pourquoi cette leçon ?

Photocopies agrandies, projecteurs, ombres, cartes à l’échelle : chaque fois qu’une figure est agrandie ou réduite à partir d’un point, il s’agit d’une homothétie.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis

M^{'}

tel que

\vec{O M^{'}} = - 2 \vec{O M}

Énonce le théorème de Thalès.

k = - 3

, calcule

| k |

k^{2}

Situation problème : Le projecteur

Un projecteur placé en $O$ projette l’image d’une diapositive sur un écran parallèle. La diapositive, à 8 cm de $O$ , est un rectangle de 3 cm sur 2 cm ; l’écran est à 2 m de $O$ .
Quelles sont les dimensions et l’aire de l’image ? Les angles sont-ils conservés ?

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Activité d’apprentissage

On considère l’homothétie $h$ de centre $O$ et de rapport $k$ .

Quel est le rapport $k$ dans la situation ?
Pour deux points $M$ et $N$ d’images $M^{'}$ et $N^{'}$ , exprime $\vec{M^{'} N^{'}}$ en fonction de $\vec{M N}$ .
Déduis-en le rapport des longueurs et celui des aires.
Réponds à la situation problème.

Définition

L’homothétie de centre

O

et de rapport

k \neq 0

associe à

M

le point

M^{'}

tel que

\vec{O M^{'}} = k \vec{O M}

O

est invariant ;

O

M

M^{'}

sont alignés. Pour

k = - 1

, c’est la symétrie de centre

O

Exemple à traiter : Construis l’image d’un carré

A B C D

par l’homothétie de centre

A

et de rapport

- \frac{1}{2}

R2 · Propriété fondamentale

M^{'} = h (M)

N^{'} = h (N)

, alors

\vec{M^{'} N^{'}} = k \vec{M N}

. Donc

M^{'} N^{'} = | k | M N

(M^{'} N^{'}) ∥ (M N)

Exemple à traiter : Démontre que l’image d’une droite par une homothétie est une droite parallèle.

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Conservation

Une homothétie conserve l’alignement, le parallélisme, les angles géométriques, les milieux et le contact. Elle multiplie les longueurs par

| k |

et les aires par

k^{2}

. L’image d’un cercle de centre

Ω

et de rayon

r

est le cercle de centre

h (Ω)

et de rayon

| k | r

Exemple à traiter : Deux cercles de rayons 2 et 6 ont des centres distincts. Combien existe-t-il d’homothéties transformant le premier en le second ? Donne leurs rapports.

Erreurs fréquentes

⚠ Longueurs et signe

Les longueurs sont multipliées par \(

⚠ Aires

Les aires sont multipliées par

k^{2}

Exercice d’application

$A B C$ est un triangle, $G$ son centre de gravité. Démontre que l’homothétie de centre $G$ et de rapport $- \frac{1}{2}$ transforme $A B C$ en le triangle des milieux.
Construis le centre d’une homothétie qui transforme un segment $[A B]$ en un segment parallèle $[A^{'} B^{'}]$ donné.
Réponds à la situation problème.

À retenir

\vec{O M^{'}} = k \vec{O M}

\vec{M^{'} N^{'}} = k \vec{M N}

. Longueurs ×

| k |

, aires ×

k^{2}

, angles et parallélisme conservés.