Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Transformations du plan · Leçon 1

Utilisation des symétries et des translations

Des transformations qui conservent les distances.

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Cours de Mathématiques : « Utilisation des symétries et des translations », proposé par ndolomathndolomath

Symétries et translations

💡 Idée principale : La symétrie orthogonale, la symétrie centrale et la translation conservent les distances, les angles, l’alignement et le parallélisme. On les utilise pour construire des figures, démontrer des propriétés et résoudre des problèmes de chemin minimum.

Ce que tu vas apprendre

Définir et construire l’image d’un point par une symétrie orthogonale, une symétrie centrale, une translation.
Utiliser les propriétés de conservation pour démontrer.
Résoudre un problème de plus court chemin à l’aide d’une symétrie.

Pourquoi cette leçon ?

Un berger doit aller abreuver ses bêtes à la rivière puis rejoindre sa case par le chemin le plus court. Une symétrie par rapport à la rivière donne immédiatement le meilleur point d’abreuvement.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis le symétrique d’un point par rapport à une droite.

Construis l’image d’un point par la translation de vecteur

\vec{A B}

Énonce l’inégalité triangulaire.

Situation problème : Le berger et la rivière

Un berger part de son enclos $A$ , doit faire boire son troupeau dans une rivière rectiligne $(d)$ , puis rentrer à sa case $B$ , du même côté de la rivière que $A$ .
En quel point $M$ de la rivière doit-il aller pour que le trajet $A M + M B$ soit le plus court possible ?

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Activité d’apprentissage

On note $A^{'}$ le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$ .

Pour tout point $M$ de $(d)$ , compare $A M$ et $A^{'} M$ .
Exprime $A M + M B$ à l’aide de $A^{'}$ .
Quand $A^{'} M + M B$ est-il minimal ? Utilise l’inégalité triangulaire.
Construis le point $M$ cherché et réponds à la situation.

Définitions

• Symétrie orthogonale d’axe

(d)

(d)

est la médiatrice de

[M M^{'}]

.
• Symétrie centrale de centre

O

O

est le milieu de

[M M^{'}]

.
• Translation de vecteur

\vec{u}

\vec{M M^{'}} = \vec{u}

Exemple à traiter : Construis l’image d’un triangle

A B C

par chacune des trois transformations, avec des éléments de ton choix.

R2 · Propriétés de conservation

Ces transformations sont des isométries : elles conservent les distances, donc les angles géométriques, l’alignement, le parallélisme, les milieux et les aires. L’image d’une droite est une droite (parallèle pour une symétrie centrale ou une translation).

Exemple à traiter : Démontre que l’image d’un parallélogramme par une symétrie orthogonale est un parallélogramme de même aire.

Utilisations

Pour démontrer qu’un point est un milieu, que des droites sont parallèles, ou pour trouver un chemin minimal, on cherche une transformation qui envoie une partie de la figure sur une autre.

Exemple à traiter :

A B C D

est un parallélogramme de centre

O

. Démontre que la symétrie de centre

O

échange

A

C

B

D

, et déduis-en que

A B = C D

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Erreurs fréquentes

⚠ Axe et médiatrice

L’axe est la médiatrice du segment formé par un point et son image.

⚠ Translation et direction

Tous les points se déplacent du même vecteur.

Exercice d’application

Deux villages $A$ et $B$ sont de part et d’autre d’une rivière de largeur constante. On construit un pont perpendiculaire aux rives. Où le placer pour minimiser le trajet ? (aide : utilise une translation)
Démontre que les médiatrices d’un triangle sont concourantes en utilisant les symétries.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Symétries et translations conservent distances, angles, alignement et parallélisme. Une symétrie résout le problème du plus court chemin.