Caractéristiques de position et de dispersion

Mode, moyenne, médiane, étendue, variance et écart type.

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Cours de Mathématiques : « Caractéristiques de position et de dispersion », proposé par ndolomathndolomath

Position et dispersion

💡 Idée principale : Les caractéristiques de position (mode, moyenne, médiane) résument le centre d’une série ; les caractéristiques de dispersion (étendue, variance, écart type) mesurent l’éparpillement des valeurs autour de ce centre.

Ce que tu vas apprendre

Calculer le mode, la moyenne et la médiane d’une série.
Calculer l’étendue, la variance et l’écart type.
Comparer deux séries à l’aide de ces paramètres.

Pourquoi cette leçon ?

Deux classes peuvent avoir la même moyenne mais des résultats très différents : l’une homogène, l’autre très dispersée. Les paramètres de dispersion révèlent cette différence.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule la moyenne de 8, 10, 12, 14, 16.

Calcule

(8 - 12)^{2} + (16 - 12)^{2}

Range dans l’ordre croissant : 12, 7, 15, 9, 11.

Situation problème : Les deux classes de 2nde C

Au dernier devoir, la 2nde C1 a obtenu : 8, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 14 et la 2nde C2 : 2, 4, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19. Les deux classes ont-elles la même moyenne ?
Laquelle est la plus homogène ? Justifie avec un paramètre de dispersion.

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Activité d’apprentissage

On compare les deux séries.

Calcule la moyenne de chaque classe.
Calcule la médiane et l’étendue de chaque série.
Calcule la variance puis l’écart type de chaque série.
Réponds à la situation problème.

Position

• Mode : valeur (ou classe) de plus grand effectif.
• Moyenne :

\bar{x} = \frac{1}{N} \sum n_{i} x_{i}

.
• Médiane : valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif.

Exemple à traiter : Calcule le mode, la moyenne et la médiane de : 5 (2), 7 (4), 8 (6), 10 (5), 12 (3).

R2 · Dispersion

• Étendue : plus grande valeur − plus petite.
• Variance :

V = \frac{1}{N} \sum n_{i} (x_{i} - \bar{x})^{2} = \frac{1}{N} \sum n_{i} x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2}

.
• Écart type :

σ = \sqrt{V}

Exemple à traiter : Calcule la variance et l’écart type de la série de l’exemple R1.

Interpréter

Plus l’écart type est petit, plus les valeurs sont regroupées autour de la moyenne. La médiane est moins sensible que la moyenne aux valeurs extrêmes.

Exemple à traiter : Une série de salaires a une moyenne de 150 000 F et une médiane de 90 000 F. Que peut-on en déduire ?

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Erreurs fréquentes

⚠ Variance sans carré

On calcule les carrés des écarts, sinon la somme est nulle.

⚠ Médiane non ordonnée

On range d’abord la série dans l’ordre croissant.

Exercice d’application

Calcule la moyenne et l’écart type d’une série regroupée en classes : $[0; 4 [$ : 3 ; $[4; 8 [$ : 7 ; $[8; 12 [$ : 10 ; $[12; 16 [$ : 5.
Que deviennent la moyenne et l’écart type si on ajoute 2 points à toutes les notes ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Position : mode, moyenne, médiane. Dispersion : étendue, variance

V = \overset{―}{x^{2}} - {\bar{x}}^{2}

, écart type

σ = \sqrt{V}