Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Produit scalaire de deux vecteurs du plan · Leçon 2

Relations métriques dans le triangle

Al-Kashi, loi des sinus, théorème de la médiane.

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Cours de Mathématiques : « Relations métriques dans le triangle », proposé par ndolomathndolomath

Relations métriques

💡 Idée principale : Le produit scalaire permet de généraliser le théorème de Pythagore à tout triangle : c’est le théorème d’Al-Kashi. On établit aussi la formule de l’aire avec le sinus, la loi des sinus et le théorème de la médiane.

Ce que tu vas apprendre

Utiliser le théorème d’Al-Kashi pour calculer une longueur ou un angle.
Calculer l’aire d’un triangle avec un sinus.
Utiliser la loi des sinus et le rayon du cercle circonscrit.
Utiliser le théorème de la médiane.

Pourquoi cette leçon ?

Un géomètre ne peut pas toujours mesurer directement une distance (une rivière, un lac les sépare). Avec deux longueurs et un angle, Al-Kashi donne la troisième.

Prérequis : vérifie tes bases

Énonce le théorème de Pythagore.

Calcule

\cos 120 °

\sin 30 °

Développe

(\vec{u} - \vec{v})^{2}

Situation problème : Le lac de Barombi

Pour mesurer la distance entre deux points $B$ et $C$ situés de part et d’autre du lac Barombi, un géomètre se place en $A$ . Il mesure $A B = 800$ m, $A C = 650$ m et $\hat{B A C} = 72 °$ .
Quelle est la distance $B C$ ? Quelle est l’aire du triangle $A B C$ ?

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Activité d’apprentissage

On note $a = B C$ , $b = A C$ , $c = A B$ .

Écris $\vec{B C} = \vec{A C} - \vec{A B}$ et calcule $B C^{2} = \vec{B C} \cdot \vec{B C}$ .
Déduis-en une formule pour $a^{2}$ en fonction de $b$ , $c$ et $\cos \hat{A}$ .
Calcule $B C$ dans la situation.
Calcule la hauteur issue de $C$ en fonction de $b$ et $\sin \hat{A}$ , puis l’aire.

Théorème d’Al-Kashi

Dans tout triangle

A B C

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos \hat{A}

(et de même pour

b^{2}

c^{2}

). Si

\hat{A} = 90 °

, on retrouve Pythagore.

Exemple à traiter : Un triangle a des côtés de 5, 7 et 8. Calcule la mesure de son plus grand angle.

R2 · Aire et loi des sinus

A = \frac{1}{2} b c \sin \hat{A} \frac{a}{\sin \hat{A}} = \frac{b}{\sin \hat{B}} = \frac{c}{\sin \hat{C}} = 2 R = \frac{a b c}{2 A}

où

R

est le rayon du cercle circonscrit.

Exemple à traiter : Dans un triangle,

a = 10

\hat{A} = 45 °

\hat{B} = 60 °

. Calcule

b

R

Théorème de la médiane

A^{'}

est le milieu de

[B C]

A B^{2} + A C^{2} = 2 A A^{' 2} + \frac{B C^{2}}{2} \vec{A B} \cdot \vec{A C} = A A^{' 2} - \frac{B C^{2}}{4}

Exemple à traiter : Un triangle a des côtés

A B = 6

A C = 8

B C = 10

. Calcule la longueur de la médiane issue de

A

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Erreurs fréquentes

⚠ Signe du cosinus

Pour un angle obtus,

\cos \hat{A} < 0

a^{2} > b^{2} + c^{2}

⚠ Angle opposé

Dans Al-Kashi, l’angle utilisé est celui opposé au côté calculé.

Exercice d’application

Un triangle a $b = 6$ , $c = 9$ et $\hat{A} = 120 °$ . Calcule $a$ et l’aire.
Démontre que dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Al-Kashi :

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A

. Aire

\frac{1}{2} b c \sin A

. Loi des sinus :

\frac{a}{\sin A} = 2 R

. Médiane :

A B^{2} + A C^{2} = 2 A A^{' 2} + \frac{B C^{2}}{2}