Cours
MATHÉMATIQUES · 2nde C-E
Chapitre : Produit scalaire de deux vecteurs du plan · Leçon 1

Produit scalaire et ses expressions

Un nombre qui mesure l’orthogonalité.
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Cours de Mathématiques : « Produit scalaire et ses expressions », proposé par ndolomathndolomath
Produit scalaire
💡 Idée principale : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre. Il peut se calculer avec les normes et l’angle (‖u→‖‖v→‖cos⁡θ), avec une projection orthogonale, ou avec les coordonnées dans une base orthonormée (xx′+yy′). Il est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux.
Ce que tu vas apprendre
  1. Calculer un produit scalaire par la formule du cosinus et par projection.
  2. Calculer un produit scalaire avec les coordonnées.
  3. Utiliser les propriétés (bilinéarité, symétrie, carré scalaire).
  4. Caractériser l’orthogonalité.
Pourquoi cette leçon ?
En physique, le travail d’une force est un produit scalaire. En géométrie, il permet de calculer des angles et des longueurs et de démontrer des orthogonalités.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Calcule cos⁡60° et cos⁡120°.
2
Construis le projeté orthogonal d’un point sur une droite.
3
Calcule la norme du vecteur u→(3;−4).
Situation problème : La charrette tirée

Un homme tire une charrette avec une corde qui fait un angle de 30° avec le sol, en exerçant une force de 200 N. La charrette avance de 50 m.
Quel est le travail de la force (produit scalaire de la force et du déplacement) ? Que deviendrait-il si la corde était horizontale ?

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Activité d’apprentissage

On représente la force F→ et le déplacement d→.

  1. Quelle est la longueur de la projection de F→ sur la direction du déplacement ?
  2. Calcule ‖F→‖×‖d→‖×cos⁡30°.
  3. Recommence avec un angle de 0°.
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Définitions
u→⋅v→=‖u→‖×‖v→‖×cos⁡(u→,v→) Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB) : AB→⋅AC→=AB→⋅AH→ ; il vaut AB×AH si AB→ et AH→ ont même sens, −AB×AH sinon.
Exemple à traiter : ABC est équilatéral de côté 4. Calcule AB→⋅AC→ et AB→⋅BC→.
R2 · Propriétés
u→⋅v→=v→⋅u→ ; u→⋅(v→+w→)=u→⋅v→+u→⋅w→ ; u→⋅u→=‖u→‖2.
u→⋅v→=12(‖u→‖2+‖v→‖2−‖u→−v→‖2).
u→⊥v→⟺u→⋅v→=0.
Exemple à traiter : Développe (u→+v→)2 et (u→+v→)⋅(u→−v→).
R3
Avec les coordonnées
Dans une base orthonormée, si u→(x;y) et v→(x′;y′) : u→⋅v→=xx′+yy′ et ‖u→‖=x2+y2.
Exemple à traiter : Calcule u→⋅v→ pour u→(2;−1) et v→(3;6). Que conclure ? Calcule l’angle entre a→(1;1) et b→(0;2).
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Erreurs fréquentes
⚠ Produit scalaire = vecteur
Le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur.
⚠ Base non orthonormée
La formule xx′+yy′ n’est valable que dans une base orthonormée.
Exercice d’application
  1. ABCD est un carré de côté 3. Calcule AB→⋅AC→ et AC→⋅BD→.
  2. On donne A(1;2), B(4;3), C(2;5). Calcule AB→⋅AC→ et une valeur approchée de BAC^.
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
u→⋅v→=‖u→‖‖v→‖cos⁡θ=xx′+yy′ (base orthonormée). Nul ⟺ orthogonaux. u→⋅u→=‖u→‖2.
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Préparation du PDF…