Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Notion de groupe · Leçon 2

Groupe et groupe abélien

Une structure qui réunit les bonnes propriétés.

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Cours de Mathématiques : « Groupe et groupe abélien », proposé par ndolomathndolomath

Groupes

💡 Idée principale : Un ensemble muni d’une loi interne associative, possédant un élément neutre et dans lequel tout élément a un symétrique, est un groupe. Si en plus la loi est commutative, le groupe est abélien (ou commutatif).

Ce que tu vas apprendre

Définir un groupe et un groupe abélien.
Démontrer qu’un ensemble muni d’une loi est un groupe.
Reconnaître des exemples usuels de groupes.
Utiliser l’unicité du neutre et du symétrique.

Pourquoi cette leçon ?

Les nombres avec l’addition, les rotations d’un carré, les heures d’une horloge forment des groupes. Une même théorie permet ainsi d’étudier des objets très différents.

Prérequis : vérifie tes bases

Rappelle la définition d’une loi associative.

Donne le neutre de l’addition dans

Z

Donne le symétrique de

\frac{3}{4}

pour la multiplication.

Situation problème : Les rotations du carré

Un carreau carré peut être tourné autour de son centre de 0°, 90°, 180° ou 270° en restant à la même place. On compose deux rotations en les effectuant l’une après l’autre.
Le résultat est-il toujours l’une de ces quatre rotations ? Peut-on toujours « annuler » une rotation ? L’ordre compte-t-il ?

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Activité d’apprentissage

On note $r_{0}$ , $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ les rotations de 0°, 90°, 180°, 270°, et $\circ$ leur composition.

Calcule $r_{1} \circ r_{2}$ , $r_{3} \circ r_{3}$ , $r_{2} \circ r_{2}$ .
Dresse la table de la loi $\circ$ .
Quel est l’élément neutre ? Donne le symétrique de chaque rotation.
La loi est-elle commutative ? Réponds à la situation.

Définition

(G, *)

est un groupe si :
1.

*

est une loi interne sur

G

;
2.

*

est associative ;
3.

G

possède un élément neutre

e

;
4. tout élément de

G

a un symétrique dans

G

.
Si de plus

*

est commutative, le groupe est abélien.

Exemple à traiter :

(Z, +)

(N, +)

(Q^{*}, \times)

(Z^{*}, \times)

sont-ils des groupes ?

R2 · Propriétés

Dans un groupe : le neutre est unique ; chaque élément a un unique symétrique ; on peut simplifier :

a * b = a * c ⟹ b = c

; le symétrique de

a * b

est

b^{'} * a^{'}

Exemple à traiter : Dans un groupe, résous l’équation

a * x = b

en fonction de

a^{'}

b

Table d’un groupe fini

Dans la table d’un groupe fini, chaque élément apparaît une et une seule fois dans chaque ligne et dans chaque colonne. Si la table est symétrique par rapport à la diagonale, le groupe est abélien.

Exemple à traiter : Vérifie cette propriété sur la table de l’addition modulo 4.

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Erreurs fréquentes

⚠ Oublier l’associativité

Elle doit être vérifiée, ce n’est pas automatique.

⚠ Symétrique hors de G

Le symétrique doit appartenir à

G

: 2 n’a pas d’inverse dans

Z

Exercice d’application

Sur $R$ , on pose $a * b = a + b + 1$ . Démontre que $(R, *)$ est un groupe abélien.
L’ensemble ${1, - 1}$ muni de la multiplication est-il un groupe ? Est-il abélien ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Groupe : loi interne, associative, neutre, symétriques. Abélien : en plus commutatif. Neutre et symétriques sont uniques.