Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Notion de groupe · Leçon 1

Loi de composition interne

Combiner deux éléments pour en obtenir un troisième.

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Cours de Mathématiques : « Loi de composition interne », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : Une loi de composition interne sur un ensemble

E

associe à deux éléments de

E

un élément de

E

. On étudie ses propriétés : commutativité, associativité, élément neutre et éléments symétriques.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une loi de composition interne.
Étudier la commutativité et l’associativité d’une loi.
Rechercher un élément neutre et des éléments symétriques.
Construire et lire une table de loi.

Pourquoi cette leçon ?

L’addition, la multiplication, la composition de rotations ou les opérations sur les horloges sont des lois. Étudier leurs propriétés communes permet de raisonner sur des situations très différentes.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

(2 + 3) + 4

2 + (3 + 4)

Donne l’élément neutre de l’addition et de la multiplication dans

R

Donne l’opposé de

- 5

et l’inverse de

\frac{2}{3}

Situation problème : L’horloge de la tour

Sur l’horloge de la gare de Douala, on compte les heures de 0 à 11. Si on ajoute 5 heures à 9 h, on obtient 2 h. On définit ainsi une « addition des heures » sur l’ensemble ${0, 1, \dots, 11}$ .
Cette opération donne-t-elle toujours une heure de l’horloge ? Existe-t-il une heure qui ne change rien ? Pour chaque heure, existe-t-il une heure qui ramène à 0 ?

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Activité d’apprentissage

On étudie l’addition modulo 12 notée $\oplus$ .

Calcule $9 \oplus 5$ , $7 \oplus 8$ , $11 \oplus 1$ .
Le résultat appartient-il toujours à ${0, \dots, 11}$ ?
Quel élément $e$ vérifie $a \oplus e = a$ pour tout $a$ ?
Pour $a = 5$ , trouve $b$ tel que $5 \oplus b = 0$ . Réponds à la situation.

Définition

Une loi de composition interne

*

sur un ensemble

E

est une application qui à tout couple

(a; b)

E \times E

associe un élément

a * b

E

Exemple à traiter : La soustraction est-elle une loi interne dans

N

? dans

Z

? La division dans

R^{*}

R2 · Commutativité et associativité

•

*

est commutative si

a * b = b * a

pour tous

a

b

.
•

*

est associative si

(a * b) * c = a * (b * c)

pour tous

a

b

c

Exemple à traiter : Sur

R

, on pose

a * b = a + b - a b

. Étudie la commutativité et l’associativité de

*

Neutre et symétrique

•

e

est élément neutre si

a * e = e * a = a

pour tout

a

.
•

a^{'}

est le symétrique de

a

a * a^{'} = a^{'} * a = e

Exemple à traiter : Avec la loi

a * b = a + b - a b

, cherche l’élément neutre et le symétrique d’un réel

a

(quand il existe).

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Erreurs fréquentes

⚠ Loi non interne

Si le résultat peut sortir de

E

, la loi n’est pas interne.

⚠ Neutre d’un seul côté

Il faut vérifier

a * e = a

e * a = a

Exercice d’application

Dresse la table de la loi $\oplus$ (addition modulo 4) sur ${0, 1, 2, 3}$ . Donne le neutre et le symétrique de chaque élément.
Sur $R$ , on pose $a ⊤ b = 2 a + b$ . Est-elle commutative ? associative ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Loi interne :

a * b \in E

. Propriétés : commutativité, associativité, élément neutre

e

, symétrique

a^{'}

tel que

a * a^{'} = e