Cours
MATHÉMATIQUES · 2nde C-E
Chapitre : Nombres réels · Leçon 2

Ordre dans ℝ

Inégalités, encadrements et intervalles.
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Cours de Mathématiques : « Ordre dans ℝ », proposé par ndolomathndolomath
Ordre dans ℝ
💡 Idée principale : L’ordre dans R obéit à des règles : on peut ajouter un même nombre aux deux membres d’une inégalité, la multiplier par un positif sans changer le sens, mais un négatif inverse le sens. Ces règles permettent de comparer, d’encadrer et de résoudre.
Ce que tu vas apprendre
  1. Utiliser les règles de compatibilité de l’ordre avec l’addition et la multiplication.
  2. Comparer deux réels (différence, quotient, carrés, inverses).
  3. Encadrer une somme, un produit, un inverse.
  4. Utiliser les intervalles et les approximations.
Pourquoi cette leçon ?
Majorer une erreur de mesure, garantir qu’une charge ne dépasse pas une limite, comparer deux devis : les inégalités sont l’outil de la précision et de la sécurité.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Si a<b, compare a−3 et b−3, puis −2a et −2b.
2
Écris −1<x≤4 sous forme d’intervalle.
3
Compare 13 et 14.
Situation problème : Le poids du camion

Un camion à vide pèse entre 3,4 t et 3,6 t. Il transporte 40 sacs de ciment dont chacun pèse entre 49,5 kg et 50,5 kg. Le pont de la rivière supporte au plus 5,7 t.
Le camion chargé peut-il passer sans risque ?

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Activité d’apprentissage

On encadre la masse totale du camion chargé.

  1. Encadre la masse des 40 sacs, en tonnes.
  2. Encadre la masse totale du camion chargé.
  3. Compare la borne supérieure à 5,7 t.
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Règles de l’ordre
Pour tous réels a, b, c :
• a<b⟺a+c<b+c ;
• si c>0 : a<b⟺ac<bc ; si c<0 : a<b⟺ac>bc ;
• si a<b et c<d, alors a+c<b+d.
Exemple à traiter : Sachant que 2<x<5, encadre 3x−1 et −2x+4.
R2 · Comparaisons
• Par la différence : a<b⟺a−b<0.
• Carrés : pour a,b≥0, a<b⟺a2<b2.
• Inverses : pour a,b de même signe, a<b⟺1a>1b.
Exemple à traiter : Compare 7−6 et 6−5 (aide : multiplie par les conjugués).
R3
Encadrements
Si 0<a≤x≤b et 0<c≤y≤d, alors ac≤xy≤bd et 1b≤1x≤1a. Pour une différence, on encadre l’opposé.
Exemple à traiter : Sachant 1,4<2<1,5 et 1,7<3<1,8, encadre 3−2 et 12.
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Erreurs fréquentes
⚠ Soustraire les encadrements
x−y ne s’encadre pas par a−c et b−d.
⚠ Multiplier par un négatif
Le sens de l’inégalité change.
Exercice d’application
  1. Démontre que pour tout réel x, x2+1≥2x.
  2. Sachant −3≤x≤−1, encadre x2 et 1x.
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
Ajouter conserve l’ordre ; multiplier par un négatif l’inverse. On compare par la différence, les carrés (positifs) ou les inverses (même signe).
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Préparation du PDF…