Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Nombres réels · Leçon 1

Calculs dans ℝ

Puissances, radicaux, valeur absolue et identités.

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Cours de Mathématiques : « Calculs dans ℝ », proposé par ndolomathndolomath

Calculs dans ℝ

💡 Idée principale : Calculer dans

R

, c’est utiliser avec rigueur les règles sur les puissances, les racines carrées, la valeur absolue et les identités remarquables pour simplifier des expressions et obtenir des résultats exacts.

Ce que tu vas apprendre

Calculer avec les puissances d’exposant entier relatif.
Simplifier des expressions avec radicaux et rendre un dénominateur rationnel.
Utiliser la valeur absolue et la distance sur la droite réelle.
Utiliser les identités remarquables, y compris $a^{3} - b^{3}$ et $a^{3} + b^{3}$ .

Pourquoi cette leçon ?

En physique comme en géométrie, les résultats exacts s’écrivent avec des puissances et des radicaux. Les maîtriser évite les erreurs d’arrondi et rend les démonstrations possibles.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

2^{- 3} \times 2^{5}

\frac{1}{\sqrt{2}}

sans radical au dénominateur.

Développe

(a - b)^{2}

Calcule

| - 5 |

| 3 - 7 |

Situation problème : La mesure du terrain

Un géomètre calcule la diagonale d’un terrain rectangulaire de $\sqrt{12}$ m sur $\sqrt{27}$ m, puis le rapport $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ entre deux longueurs. Il trouve des expressions compliquées.
Comment les écrire le plus simplement possible ?

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Activité d’apprentissage

On simplifie les expressions du géomètre.

Simplifie $\sqrt{12}$ et $\sqrt{27}$ , puis calcule la diagonale $\sqrt{12 + 27}$ .
Multiplie numérateur et dénominateur de $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ par $\sqrt{3} + 1$ .
Écris le résultat sous la forme $a + b \sqrt{3}$ .
Réponds à la situation problème.

Puissances et radicaux

Pour

a, b

non nuls,

m, n \in Z

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

(a^{m})^{n} = a^{m n}

(a b)^{n} = a^{n} b^{n}

.
Pour

a, b \geq 0

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}

;

\sqrt{a^{2}} = | a |

pour tout réel

a

Exemple à traiter : Simplifie

A = \frac{(2^{3})^{- 2} \times 4^{5}}{8^{- 1}}

B = \sqrt{50} - 2 \sqrt{18} + \sqrt{8}

R2 · Valeur absolue

| x | = max (x; - x)

;

| x - a |

est la distance de

x

a

| x - a | \leq r ⟺ a - r \leq x \leq a + r

;

| x y | = | x | | y |

;

| x + y | \leq | x | + | y |

Exemple à traiter : Résous

| 2 x - 3 | \leq 5

et écris l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle.

Identités remarquables

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

Exemple à traiter : Développe

(x - 2)^{3}

et factorise

x^{3} - 27

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Erreurs fréquentes

⚠

\sqrt{a^{2}} = a

Faux si

a < 0

\sqrt{(- 3)^{2}} = 3

⚠ Conjugué oublié

Pour enlever un radical d’un dénominateur

a + \sqrt{b}

, on multiplie par

a - \sqrt{b}

Exercice d’application

Écris sans radical au dénominateur : $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ .
Résous : $| x + 1 | > 2$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Puissances, radicaux, valeur absolue, identités : appliquer les règles exactement.

\sqrt{a^{2}} = | a |

. On rend les dénominateurs rationnels avec le conjugué.