Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Géométrie dans l’espace · Leçon 3

Pyramides et cônes : sections et mesures

Aires, volumes et sections parallèles à la base.

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Cours de Mathématiques : « Pyramides et cônes : sections et mesures », proposé par ndolomathndolomath

Pyramides et cônes

💡 Idée principale : Le volume d’une pyramide ou d’un cône vaut le tiers du produit de l’aire de la base par la hauteur. La section par un plan parallèle à la base est une réduction de la base, de coefficient

k

; les aires sont multipliées par

k^{2}

et les volumes par

k^{3}

Ce que tu vas apprendre

Calculer l’aire latérale et le volume d’une pyramide et d’un cône.
Déterminer la section d’une pyramide ou d’un cône par un plan parallèle à la base.
Utiliser les coefficients $k$ , $k^{2}$ , $k^{3}$ pour un tronc.

Pourquoi cette leçon ?

Toits, entonnoirs, tas de sable, abat-jour : pyramides et cônes sont partout dans les objets techniques. On doit calculer leur matière et leur contenance.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule l’aire d’un disque de rayon 4 cm.

Énonce le théorème de Thalès.

k = \frac{2}{3}

, calcule

k^{2}

k^{3}

Situation problème : Le seau conique

Un seau a la forme d’un tronc de cône : le cône complet aurait un rayon de base de 15 cm et une hauteur de 45 cm ; on l’a coupé à 15 cm du sommet, parallèlement à la base.
Quelle est la contenance du seau, en litres ?

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Activité d’apprentissage

On considère le cône complet de sommet $S$ et le plan de coupe.

Calcule le coefficient de réduction $k$ entre le petit cône et le grand.
Calcule le rayon de la section.
Calcule le volume du grand cône, puis celui du petit cône en utilisant $k^{3}$ .
Réponds à la situation problème.

Volumes et aires

• Pyramide :

V = \frac{1}{3} B h

.
• Cône de révolution :

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

; aire latérale

π r g

avec

g = \sqrt{r^{2} + h^{2}}

Exemple à traiter : Calcule le volume et l’aire latérale d’un cône de rayon 6 cm et de hauteur 8 cm.

R2 · Section parallèle à la base

La section d’une pyramide (ou d’un cône) par un plan parallèle à la base est une réduction de la base de coefficient

k = \frac{S O^{'}}{S O}

, où

O^{'}

est le pied de la hauteur dans le plan de coupe.

Exemple à traiter : Une pyramide à base carrée de côté 9 cm et de hauteur 12 cm est coupée à 4 cm du sommet. Calcule le côté de la section.

Coefficients

Dans une réduction de coefficient

k

: longueurs ×

k

, aires ×

k^{2}

, volumes ×

k^{3}

. Volume d’un tronc = volume du grand solide − volume du petit.

Exemple à traiter : Calcule le volume du tronc de pyramide de l’exemple R2.

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Erreurs fréquentes

⚠ Oublier le tiers

Le volume d’une pyramide n’est pas

B h

⚠ Coefficient mal calculé

k

se calcule avec des distances mesurées depuis le sommet.

Exercice d’application

Un verre conique de 10 cm de profondeur contient 20 cL quand il est plein. Combien contient-il rempli sur 5 cm ?
Démontre que le volume d’un tronc de cône de rayons $R$ et $r$ et de hauteur $h$ vaut $\frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

V = \frac{1}{3} B h

. Section parallèle : réduction de coefficient

k

; aires ×

k^{2}

, volumes ×

k^{3}