Droites et plans de l’espace

Règles d’incidence et positions relatives.

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Cours de Mathématiques : « Droites et plans de l’espace », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : Dans l’espace, deux points définissent une droite et trois points non alignés un plan. Deux droites peuvent être sécantes, parallèles ou non coplanaires ; une droite et un plan, ou deux plans, peuvent être sécants ou parallèles.

Ce que tu vas apprendre

Utiliser les règles d’incidence de l’espace.
Déterminer la position relative de deux droites, d’une droite et d’un plan, de deux plans.
Utiliser les théorèmes de parallélisme (théorème du toit).
Construire l’intersection de deux plans ou d’une droite et d’un plan.

Pourquoi cette leçon ?

Le maçon qui aligne des murs, le charpentier qui pose des chevrons, l’électricien qui tire des câbles doivent savoir quand des droites et des plans se coupent ou restent parallèles.

Prérequis : vérifie tes bases

Combien de plans passent par trois points non alignés ?

Dans un cube, cite deux arêtes parallèles et deux arêtes non coplanaires.

Énonce la propriété de la droite des milieux.

Situation problème : Le toit de la maison

Le toit d’une maison est formé de deux pans plans qui se coupent selon la faîtière. La gouttière de chaque pan est parallèle au sol et à la gouttière de l’autre pan.
Démontre que la faîtière est parallèle aux gouttières.

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Activité d’apprentissage

On considère un tétraèdre $A B C D$ , $I$ milieu de $[A B]$ , $J$ milieu de $[A C]$ .

Les droites $(I J)$ et $(B C)$ sont-elles parallèles ? Justifie.
La droite $(I J)$ est-elle parallèle au plan $(B C D)$ ?
Quelle est l’intersection des plans $(D I J)$ et $(D B C)$ ? Que peux-tu dire de cette droite et de $(I J)$ ?
Réponds à la situation problème.

Règles d’incidence

• Par deux points distincts passe une unique droite ; par trois points non alignés, un unique plan.
• Si deux points d’une droite sont dans un plan, toute la droite y est.
• Si deux plans distincts ont un point commun, leur intersection est une droite.

Exemple à traiter : Dans un cube

A B C D E F G H

, détermine l’intersection des plans

(A B G)

(B C E)

R2 · Positions relatives

• Deux droites : coplanaires (sécantes ou parallèles) ou non coplanaires.
• Une droite et un plan : sécants (un point) ou parallèles (droite incluse ou disjointe).
• Deux plans : sécants (selon une droite) ou parallèles.

Exemple à traiter : Dans un cube, donne la position de

(A E)

(C G)

, de

(A B)

(C G)

, de

(E G)

et du plan

(A B C)

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Parallélisme

• Une droite parallèle à une droite d’un plan est parallèle à ce plan.
• Théorème du toit : si deux plans sécants contiennent deux droites parallèles, leur intersection est parallèle à ces droites.
• Si un plan contient deux droites sécantes parallèles à un autre plan, les deux plans sont parallèles.

Exemple à traiter : Utilise le théorème du toit pour démontrer le résultat de la situation.

Erreurs fréquentes

⚠ Croire le dessin

Deux droites qui se croisent sur le dessin peuvent être non coplanaires.

⚠ Non sécantes = parallèles

Dans l’espace, c’est faux : elles peuvent être non coplanaires.

Exercice d’application

$S A B C D$ est une pyramide à base parallélogramme. Détermine l’intersection des plans $(S A B)$ et $(S C D)$ .
Démontre que la droite joignant les milieux de deux arêtes latérales d’une pyramide est parallèle à la base.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Trois points non alignés : un plan. Deux plans sécants : une droite. Théorème du toit pour les intersections parallèles.