Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Fonctions numériques d’une variable réelle · Leçon 3

Fonctions usuelles

Affine, carré, inverse, racine, valeur absolue, trinôme.

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Cours de Mathématiques : « Fonctions usuelles », proposé par ndolomathndolomath

Fonctions de référence

💡 Idée principale : Les fonctions de référence (affine, carré, inverse, racine carrée, valeur absolue, trinôme du second degré) ont des propriétés connues : domaine, parité, variations et allure de la courbe. Elles servent de modèles pour étudier des fonctions plus complexes.

Ce que tu vas apprendre

Connaître le domaine, les variations et la courbe des fonctions usuelles.
Étudier une fonction trinôme $x \mapsto a x^{2} + b x + c$ (sommet, axe de symétrie).
Utiliser les fonctions usuelles pour comparer ou résoudre.

Pourquoi cette leçon ?

La trajectoire d’un ballon est une parabole, le temps de trajet en fonction de la vitesse suit la fonction inverse. Connaître ces modèles permet d’analyser de nombreuses situations.

Prérequis : vérifie tes bases

Écris

x^{2} - 4 x + 1

sous forme canonique.

Calcule

\frac{1}{x}

pour

x = - 2, - 1, 1, 2

Trace la droite

y = - 2 x + 3

Situation problème : La trajectoire du ballon

Un ballon frappé par un joueur suit la trajectoire $h (x) = - 0, 05 x^{2} + x$ , où $x$ est la distance horizontale (en m) et $h (x)$ la hauteur (en m).
Quelle hauteur maximale atteint le ballon ? À quelle distance retombe-t-il au sol ?

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Activité d’apprentissage

On étudie la fonction $h$ .

Écris $h (x)$ sous forme canonique.
Déduis-en le sommet de la parabole et son axe de symétrie.
Résous $h (x) = 0$ .
Réponds à la situation problème.

Fonctions de référence

•

x \mapsto x^{2}

: paire, décroissante sur

] - \infty; 0]

, croissante sur

[0; + \infty [

.
•

x \mapsto \frac{1}{x}

: impaire, définie sur

R^{*}

, décroissante sur chaque intervalle.
•

x \mapsto \sqrt{x}

: croissante sur

[0; + \infty [

.
•

x \mapsto | x |

: paire, décroissante puis croissante.

Exemple à traiter : Range

x

x^{2}

\sqrt{x}

selon que

0 < x < 1

x > 1

R2 · Fonction trinôme

f (x) = a x^{2} + b x + c = a (x - α)^{2} + β

avec

α = - \frac{b}{2 a}

β = f (α)

. Sa courbe est une parabole de sommet

S (α; β)

et d’axe

x = α

. Si

a > 0

f

admet un minimum

β

; si

a < 0

, un maximum

β

Exemple à traiter : Étudie

f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 3

: sommet, variations, extremum.

Translations de courbes

La courbe de

x \mapsto f (x - a) + b

se déduit de celle de

f

par la translation de vecteur

\vec{u} (a; b)

Exemple à traiter : Déduis la courbe de

g (x) = \frac{1}{x - 2} + 1

de celle de

x \mapsto \frac{1}{x}

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Erreurs fréquentes

⚠ Sens de la translation

f (x - 2)

décale la courbe de 2 vers la droite, pas vers la gauche.

⚠ Inverse croissante

\frac{1}{x}

est décroissante sur

] 0; + \infty [

et sur

] - \infty; 0 [

, mais pas sur

R^{*}

Exercice d’application

Dresse le tableau de variations de $f (x) = - x^{2} + 6 x - 5$ et trace sa courbe.
Trace $g (x) = | x + 1 | - 2$ à partir de la courbe de $x \mapsto | x |$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Trinôme : parabole de sommet

(- \frac{b}{2 a}; f (- \frac{b}{2 a}))

f (x - a) + b

: translation de vecteur

(a; b)