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MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Fonctions numériques d’une variable réelle · Leçon 2

Étude graphique des fonctions

Tirer des informations d’une courbe.

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Cours de Mathématiques : « Étude graphique des fonctions », proposé par ndolomathndolomath

Lectures graphiques

💡 Idée principale : La courbe représentative d’une fonction permet de lire images, antécédents, variations, extremums et signes, et de résoudre graphiquement des équations et des inéquations.

Ce que tu vas apprendre

Lire images, antécédents et extremums sur une courbe.
Dresser un tableau de variations à partir d’une courbe.
Résoudre graphiquement $f (x) = k$ , $f (x) < k$ , $f (x) = g (x)$ , $f (x) \leq g (x)$ .

Pourquoi cette leçon ?

Les relevés de température, l’évolution d’un cours de prix ou le débit d’un fleuve sont souvent donnés sous forme de courbes. Savoir les lire précisément est indispensable.

Prérequis : vérifie tes bases

Lis les coordonnées d’un point dans un repère.

Trace la courbe de

x \mapsto x^{2}

sur

[- 2; 2]

Que signifie «

f

est croissante sur

[a; b]

» ?

Situation problème : Le niveau du fleuve

La courbe donnée par l’enseignant représente la hauteur $h (t)$ (en m) du fleuve Sanaga en fonction du mois $t$ (de 0 à 12). Le niveau d’alerte est de 6 m.
Pendant quels mois le niveau dépasse-t-il l’alerte ? Quand est-il le plus haut ?

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Activité d’apprentissage

On étudie la fonction $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ sur $[- 2; 4]$ .

Dresse un tableau de valeurs et trace la courbe.
Lis le minimum de $f$ et la valeur où il est atteint.
Résous graphiquement $f (x) = 0$ puis $f (x) < 0$ .
Trace la droite $y = x - 1$ et résous graphiquement $f (x) = x - 1$ .

Lectures de base

L’image de

a

est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse

a

. Les antécédents de

k

sont les abscisses des points d’intersection de la courbe avec la droite

y = k

Exemple à traiter : Sur la courbe tracée dans l’activité, lis l’image de 3 et les antécédents de 5.

R2 · Variations et extremums

On résume les variations dans un tableau de variations (flèches montantes ou descendantes). Un maximum (ou minimum) est la plus grande (plus petite) valeur prise par

f

sur un intervalle.

Exemple à traiter : Dresse le tableau de variations de

f (x) = x^{2} - 2 x - 3

sur

[- 2; 4]

et donne ses extremums.

Résolutions graphiques

•

f (x) = g (x)

: abscisses des points communs aux deux courbes.
•

f (x) < g (x)

: abscisses des points où la courbe de

f

est strictement en dessous de celle de

g

Exemple à traiter : Résous graphiquement

x^{2} \leq x + 2

en traçant les deux courbes.

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Erreurs fréquentes

⚠ Lecture inversée

Les solutions d’une inéquation se lisent sur l’axe des abscisses.

⚠ Précision

Une lecture graphique donne des valeurs approchées : on vérifie par le calcul quand c’est possible.

Exercice d’application

Trace la courbe de $f (x) = - x^{2} + 4$ et résous graphiquement $f (x) \geq 0$ et $f (x) = 3$ .
Dresse son tableau de variations sur $[- 3; 3]$ .
Réponds à la situation problème à partir de la courbe fournie.

À retenir

Images : lecture verticale ; antécédents et solutions : lecture horizontale sur l’axe des abscisses. Courbe au-dessus ou en dessous pour les inéquations.